TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 10

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Ist a_{0}=0 und a_{n+1} = a_{n+1}+(n+1) für alle n \in \mathbb{N}, so gilt a_{n}={n (n+1) \over 2}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Vollständige Induktion[Bearbeiten, WP]

  1. Induktionsanfang (IA)
  2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) \Rarr Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von samuelp[Bearbeiten]

Induktionsanfang n=0[Bearbeiten]

Linke Seite a_{0}=0

Rechte Seite {0 (0+1) \over 2} = 0

Induktionsschritt n \rightarrow n+1[Bearbeiten]

Induktionshypothese: a_{n}={n (n+1) \over 2}

Induktionsbehauptung: a_{n+1}={(n+1) (n+2) \over 2}

Linke Seite:


\begin{align}
a_{n+1}
&\overset{\textrm{def.} a_n}{=}a_{n}+(n+1)\\
&\overset{I.H.}{=}{n(n+1)\over 2} + (n+1)\\
&={n(n+1)\over 2} + {2n+2 \over 2}\\
&={n^2+n\over 2} + {n+1 \over 2}\\
&={n^2+3n+2\over 2}
\end{align}

Rechte Seite:


\begin{align}
{(n+1)(n+2) \over 2}
&= {n^2+3n+2 \over 2}
\end{align}

Da beide Seiten auf den selben Ausdruck umgeformt werden können, ist a_{n+1}={(n+1) (n+2) \over 2} richtig.