TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 124

Sei $mRn\Leftrightarrow |m|\leq |n|,m,n\in \mathbb {Z}$ .
Ist R eine Halbordnung auf $\mathbb {Z}$ ?

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Halbordnung

Halbordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

Reflexivität: $\forall a\,\in A:aRa$ ,
Antisymmetrie: $\forall a,b\,\in A:(aRb\wedge bRa)\Rightarrow a=b$ ,
Transitivität: $\forall a,b,c\,\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$ .

Damit die Relation R eine Halbordnung ist, muß sie die Eigenschaften Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität erfüllen.

Reflexivität: $mRm$ ?

$|m|\leq |m|\quad \forall m\in \mathbb {Z} \Longrightarrow$ reflexiv.

Antisymmetrie: $mRn\land nRm\Rightarrow m=n$ ?

Aus $|m|\leq |n|\land |n|\leq |m|$ folgt $|m|=|n|$ . Diese Äquivalenz ist aber nicht nur erfüllt, wenn $m=n$ , sondern aufgrund der Absolutbeträge auch wenn $m=-n$ , daher ist R nicht antisymmetrisch.

Von Axel:

Ich habe die Antisymmetrie ein bisserl anders gemacht, der Grund: Wenn ich das Widerlegen von "Aus |m|<=|n| und |n|<=|m| folgt |m|=|n|" als Beweisgrundlage hernehme, dann wird der Panholzer fragen woher ich wissen will, dass "Aus |m|<=|n| und |n|<=|m| folgt |m|=|n|" und "mRn und nRm impliziert n=m" Äquivalent sind ;-)

Wenn man das gleich "von hinten rum" macht geht es imho einfacher:

Beweise/Wiederlege die Annahme: Aus mRn und nRm folgt m=n fuer alle m,n Element Z.

Sei m Element Z und m groesser 0 und n = -m. Dann ist wegen |m|<=|-m| mRn gegeben, und wegen |-m|<=|m| nRm geben, aber m ungleich n, also die Annahme wiederlegt.

Von Jens: Aus $|m|\leq |n|\land |n|\leq |m|$ folgt aufgrund der Antisymmetrie der Halbordnung $\leq$ , daß $|m|=|n|$ . So ist die Definition der Kleiner-gleich-Relation, das mußt Du nicht extra beweisen.