TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 143

Seien $f\colon A\to B$ und $g\colon B\to C$ Abbildungen.

Zeigen Sie, daß aus der Surjektivität von

$g\circ f$ die Surjektivität von g und aus der Injektivität von $g\circ f$ die Injektivität von f folgt.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})$ oder äquivalent: $a_{1},a_{2}\in A,f(a_{1})=f(a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}$

Surjektivität

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\forall b\in B\ \exists a\in A:b=f(a)$

Lösungsvorschlag

Surjektivität

Aus der Surjektivität von $g\circ f$ folgt, dass es für jedes $c\in C$ ein $a\in A$ geben muss, für dass gilt

$(g\circ f)(a)=g(f(a))=c$

Setzen $f(a)=b$ ergibt das:

$g(b)=c$

Da $b\in B$ gilt, ist somit bewiesen, dass es zu jedem $c\in C$ ein $b\in B$ mit $g(b)=c$ gibt. Folglich ist g surjektiv.

Injektivität

Es ist $(g\circ f)(a)=g(f(a))$ und $(g\circ f)(b)=g(f(b))$.

Aus der Injektivität von $g\circ f$ folgt

$g(f(a))=g(f(b))\Rightarrow a=b$

Wir müssen zeigen, dass aus $f(a)=f(b)$ folgt: $a=b$.

$f(a)=f(b)\Rightarrow g(f(a))=g(f(b))\Rightarrow a=b$.

Das beweist, dass f injektiv ist.