TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 227

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Man bestimme die Lösung nachstehender Differenzengleichung zu den vorgegebenen Anfangsbedingungen:

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Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Transkribiert von Datei:TU Wien-Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse) - ue6.pdf.

Homogene Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In unserem Fall lautet die zu lösende homogene Gleichung

Setzt man den Ansatz in obige Gleichung ein, erhält man die charakteristische Gleichung

Lösen dieser quadratischen Gleichung mittels kleiner Lösungsformel ergibt folgende Lösungen:

Somit lautet die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung

Partikuläre Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die Störfunktion konstant ist, kann der Ansatz zur Bestimmung einer partikulären Lösung verwendet werden.

Einsetzten des Ansatzes in die Differenzengleichung ergibt

Eine partikuläre Lösung ist somit .

Allgemeine Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Lösung der allgemeinen Differenzengleichung lautet

Anfangswerte einsetzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Einsetzen der Anfangswerte und ergibt:

Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die gesuchte Lösung ist somit