TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 231

Berechnen Sie die folgenden Summen durch Aufstellen und Lösen einer Rekursion mittels Ansatzmethode.

$\sum _{i=1}^{n}q^{i}$

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Lösung von Berti

Zuerst müssen wir die Rekursionsgleichung aufstellen. Dazu überlegen wir uns, wie die ersten paar Elemente aussehen und stellen dann eine allgemeine Gleichung auf:

$x_{n}=x_{n-1}+q^{n},\quad n>=1$

In diesem Fall ist für die Lösung der Gleichung sehr wichtig, dass die Summe bei $1$ beginnt! Der erste Wert ist daher $x_{1}=q$.

Anschließend berechnen wir die Lösung für die homogene Gleichung:

$x_{n}^{(h)}=C\cdot \Pi _{i=0}^{n-1}a_{i}=C$

Jetzt ist sehr wichtig, dass wir für $C$ noch nicht einsetzen! Das dürfen wir erst machen, wenn wir die komplette Gleichung aufgestellt haben.

Also berechnen wir die partikuläre Lösung mit dem Ansatz $x_{n}^{(p)}=A\cdot q^{n}$:

$A\cdot q^{n}=A\cdot q^{n-1}+q^{n}$

Die Gleichung lässt sich durch $q^{n}$ kürzen:

$A=A\cdot q^{-1}+1$

Anschließend formen wir nach $A$ um:

$A-A\cdot q^{-1}=1$

$A\cdot (1-q^{-1})=1$

$A={\frac {1}{1-{\frac {1}{q}}}}={\frac {q}{q-1}}$

Deshalb erhalten wir: $x_{n}^{(p)}=A\cdot q^{n}={\frac {q}{q-1}}\cdot q^{n}={\frac {q^{n+1}}{q-1}}$

Diese Lösung addieren wir zu unserer homogenen Lösung, womit wir schon beinahe fertig sind:

$x_{n}={\frac {q^{n+1}}{q-1}}+C$

Jetzt müssen wir uns nur noch $C$ berechnen:

$x_{1}=q={\frac {q^{n+1}}{q-1}}+C={\frac {q^{2}}{q-1}}+C$

$C=q-{\frac {q^{2}}{q-1}}$

$C={\frac {q\cdot (q-1)-q^{2}}{q-1}}$

$C=-{\frac {q}{q-1}}$

Daher ist $x_{n}={\frac {q^{n+1}}{q-1}}-{\frac {q}{q-1}}={\frac {q\cdot (q^{n}-1)}{q-1}}$.

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

-- Berti933 (Diskussion) 10:35, 21. Jan. 2015 (CET)