TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 27

Zeigen Sie, dass ${\sqrt {6}}$ irrational ist!

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösung

Beweis durch Widerspruch:

• Annahme: ${\sqrt {6}}$ ist eine rationale Zahl
• Vorraussetzung: ${\sqrt {6}}={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q}$, wobei $p,q\in \mathbb {Z} ,q>0,ggT(p,q)=1$ (Diese Eigenschaft wollen wir verletzen)

$6={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$

$p^{2}=6q^{2}$

(6 dargestellt durch Primfaktorenzerlegung)

$p^{2}=2*(3q^{2})$ $\Rightarrow p^{2}$ ist gerade ($2*x$ ist per Definition gerade) $\Rightarrow p$ ist gerade (nur eine gerade Zahl kann mit sich selbst multipliziert ein gerades Ergebnis haben)

$(2m)^{2}=2*(3q^{2})$

$4m^{2}=2*(3q^{2})$ /:2

$2m^{2}=3q^{2}\Rightarrow q^{2}$ ist gerade (wie bei $p^{2}$) $\Rightarrow q$ ist gerade (der Multiplikator 3 ist ungerade, also muss $q$ selbst gerade sein damit die rechte Seite gerade ist)

Da $p$ und $q$ beide gerade sind ($2*x$) kann ihr größter gemeinsamer Teiler NICHT 1 sein $\Rightarrow$ Widerspruch zur Vorraussetzung

Bemerkung: selbe Vorgangsweise für restliche Beispiele --Pie3 17:14, 5. Mai 2011 (CEST)

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Grundlagen: 2._VO_17.10.2005, 3._VO_18.10.2005