TU Wien:Mathematik 1 VO (Panholzer)/Stoff WS05/3. VO 18.10.2005

Nachtrag zu letztem Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\sum _{k=0}^{n}k={\frac {n*(n+1)}{2}}\qquad n\geq 0$

Direkter Beweis für $n$ ist gerade:

1	$n$	//	$n+1$
2	$n-1$	//	$n+1$
3	$n-2$	//	$n+1$
${\frac {n}{2}}-1$	${\frac {n}{2}}+2$	//	$n+1$
${\frac {n}{2}}$	${\frac {n}{2}}+1$	//	$n+1$

Für $n$ ist ungerade Beweis ist analog.

Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$

Menge der ganzen Zahlen Z[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\mathbb {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

$a-b\in \mathbb {Z} \qquad \forall a,b\in \mathbb {Z}$

das heißt: die Gleichung $a+x=b$ hat eine eindeutige Lösung in $\mathbb {Z}$

Menge der rationalen Zahlen Q[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\mathbb {Q} =\{{\frac {a}{b}}:a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\}$

z.B.: ${\frac {2}{3}}={\frac {4}{6}}\qquad |\qquad {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}:\qquad \Leftrightarrow a*d=b*c$

Gleichung $a*x=b\qquad a,b\in \mathbb {Q} ,a\neq 0$ hat eine eindeutige Lösung

Quadratwurzel aus 2 rational?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\sqrt {2}}$ ist keine Rationale Zahl, sondenr eine irrationale Zahl. Beweis?

Wir nehmen etwas Falsches an und zeigen den Widerspruch!

Annahme: ${\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}\qquad p,q\geq 1$

Wähle $p,q$ so: $ggT(p,q)=1$

$2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}\qquad \Rightarrow \qquad p^{2}=2*q^{2}$

$p^{2}$ ist gerade $\Rightarrow p$ ist gerade

$\Rightarrow p=2*m\qquad m\in \mathbb {Z}$

$\Rightarrow (2*m)^{2}=4*m^{2}=2*q^{2}$

$\Rightarrow q^{2}=2*m^{2}\qquad \Rightarrow \qquad q^{2}$ ist gerade $\Rightarrow q$ ist gerade

Widerspruch zu $ggT(p,q)=1$

Beweismethode: Kontraposition

Ich möchte zeigen: " $A\Rightarrow B$ "

Äquivalent: " $\rceil B\Rightarrow \rceil A$ "

$\mathbb {Q}$ ist dicht, d.h. zwischen zwei Zahlen auf der Zahlengerade gibt es immer eine weitere Zahl $\in \mathbb {Q}$

Algebraische Struktur von R[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\mathbb {R}$ ... positive und negative endliche und unendliche Dezimalzahlen

$\langle \mathbb {R} ,+,*\rangle$ bilden einen Körper mit algebraischer Struktur mit folgenden Eigenschaften:

Abgeschlossenheit der Operationen +,*

$\qquad a+b\in \mathbb {R}$

$\qquad a*b\in \mathbb {R} \qquad \forall a,b\in \mathbb {R}$

Assoziativität von +,*

$a+(b+c)=(a+b)+c\in \mathbb {R}$

$a*(b*c)=(a*b)*c\in \mathbb {R} \qquad \forall a,b\in \mathbb {R}$

Kommutativität der Operationen +,*

$\qquad a+b=b+a$

$\qquad a*b=b*a\qquad \forall a,b\in \mathbb {R}$

Neutrale Elemente 0,1

$a+0=0+a=a\qquad \forall a\in \mathbb {R}$

$a*1=1*a=a\qquad \forall a\in \mathbb {R}$

Inverse Elemente $-a,{\frac {1}{a}}$

$\forall a\in \mathbb {R} :\exists -a\in \mathbb {R} :\qquad a+(-a)=(-a)+a=0$ - 0 ist das neutrale Element der Addition.

$\forall a\in \mathbb {R} \ \{0\}:\exists {\frac {1}{a}}\in \mathbb {R} :\qquad a*{\frac {1}{a}}={\frac {1}{a}}*a=1$ - 1 ist das neutrale Element der Division.

Distributivgesetz

$a*(b+c)=a*b+a*c$

$(b+c)*a=b*a+c*a\qquad \forall a,b,c\in \mathbb {R}$

Ordnungsrelation

Ordnungsrelation $\leq$ ist verträglich mit den Operatoren $+,*$ , d.h.:

$x+a\leq b\qquad \Rightarrow \qquad a+b\leq b+c$

$x*a\leq b\qquad \Rightarrow {\begin{cases}a*b\leq b*c&c\geq 0\\a*c\geq b*c&c\leq 0\end{cases}}$

Mächtigkeit von Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch Kardinalität genannt.

Endliche Menge: $A=\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}$

$\vert A\vert =\sharp$ (Elemente von A = n, | | steht für Mächtigkeit)

Definition: $\mathbb {N} =\aleph _{0}$ (aleph 0) - "abzählbar unendlich"

$\mathbb {Z} =\{0,-1,1,-2,2,...\}$

$\mathbb {Z} =\aleph _{0}$

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Baron 17-26
Riessinger 5-16
Skriptum 4-6

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]