TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 332

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Man zeige, dass \langle \mathbb{Z}, \circ \rangle mit der Operation

\begin{align}a \circ b & = a + b -a*b & & & & \forall a,b \in \mathbb{Z}\end{align}

eine Halbgruppe ist. Gibt es ein neutrales Element? Wenn ja, welche Elemente haben Inverse?

Hilfreiches[Bearbeiten]

Gruppeneigenschaften[Bearbeiten]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: für a,b \in G ist a \circ b \in G (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das \circ entspricht einer Funktion  \circ: G \times G \rightarrow G
  2. Assoziativgesetz: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c für alle a,b,c \in G.
  3. Einheitselement: Es existiert ein e \in G, so dass für alle a \in G gilt: a \circ e = e \circ a = a.
  4. Inverses Element: Für jedes a \in G gibt es ein inverses Element a' \in G (oder auch a^{-1}) so, dass gilt a \circ a' = a' \circ  a = e. Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: a \circ b = b \circ a für alle a,b \in G.
Nr. Gruppoid Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe
1
2
3
4
5

Lösungsvorschlag von mnemetz 0[Bearbeiten]

Basierend auf f.thread:37761 !

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

Die Operationen *,+,- sind abgeschlossen. Wenn gilt, dass a,b \in \mathbb{Z} sind, folgt dass a*b und a+b und a-b Element aus \mathbb{Z} sind.

Daher ist die Abgeschlossenheit gegeben.

Assoziativität[Bearbeiten]

Es muss gelten: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c für alle a,b,c \in \mathbb{Z}.


\begin{align}
(a \circ b) \circ c &= a \circ (b \circ c) \\
(a + b - ab) \circ c &= a \circ (b + c - bc) \\
(a + b - ab) + c - ((a + b - ab) \cdot c) &= a + (b + c - bc) - (a \cdot (b + c - bc)) \\
a + b - ab + c - (ac + bc - abc) &= a + b + c - bc - (ab + ac - abc) \\
a + b - ab + c - ac - bc + abc &= a + b + c - bc - ab - ac + abc \\
a + b + c - ab - ac - bc + abc &= a + b + c - ab - ac - bc + abc
\end{align}

Beide Seiten sind gleich, daher ist die Assoziativität gegeben.

Neutrales Element[Bearbeiten]

Es muss gelten: a \circ e = e \circ a = a

a+e - a*e = a \qquad| -a

e - a*e = 0 \qquad| e-rausheben

e*(1-a) = 0 \qquad| / (1-a)

\mathbf{e = 0}

Inverse Elemente[Bearbeiten]

Es muss gelten: a \circ a' = a' \circ  a = e

a+a'-a*a' = e

a'-a*a' = e-a

a'*(1-a) = e-a

a'=\frac{(e-a)}{(1-a)}

\mathbf{a'=\frac{(-a)}{(1-a)}}

Für die Elemente 0 und 2 existiert ein inverses Element.

[Anmerkung von David Mihola: Wieso nur für 0 und 2? Es müsste doch für jedes a, für das der Ausdruck in der letzten Zeile definiert ist (also für alle außer 1) ein inverses Element geben, oder? Und: Sagt man, das neutrale Element ist sein eigenes Inverses?]

[Antwort vom moep: wir bewegen uns in den ganzen Zahlen \mathbb{Z}, alles andere wuerde ja einen Bruch ergeben, siehe dazu den thread im informatik-forum http://www.informatik-forum.at/showthread.php?81297-Beispiel-37-aus-der-%DCbung ]

Kommutativität[Bearbeiten]

Es muss gelten: a \circ b = b \circ a

  • a \circ b = a + b - ab
  • b \circ a = b + a - ba

Somit ist die Kommutativität gegeben.

Schlussfolgerung[Bearbeiten]

Es liegt ein Monoid vor.

Anmerkung: Damit ein Monoid vorliegt, muss für jedes Element aus der Gruppe ein Inverses existieren. Dies ist offensichtlich nicht der Fall (3 und 0 haben kein Inverses, als einfaches Gegenbeispiel). Hier handelt es sich nur um eine Halbgruppe. -- luis

[ Anmerkung von ilaViCion: Genauer gesagt ein kommutativer Monoid. ]