TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 343

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Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation  \circ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

M = \mathfrak{P}(A), d.h. die Potenzmenge der Menge A, B \circ C = B \bigtriangleup C (die symmetrische Differenz)

Definition der symmetrischen Differenz[Bearbeiten]

A \bigtriangleup B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)

C heißt symmetrische Differenz der Mengen A und B,

 C = A \triangle B ,

wenn C alle Elemente aus A enthält, die nicht zu B gehören und alle Elemente aus B, die nicht zu A gehören, d.h.:

 A \triangle B = (A \backslash B) \cup (B \backslash A) = (A \cup B) \backslash (A \cap B)

VENN-Diagramm:

Praes22 symmdiff.png

Theoretische Grundlagen (Zusammenfassung von mnemetz)[Bearbeiten]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: G \times G = G, für a,b \in G \rightarrow a \circ b \in G (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das \circ entspricht einer Funktion von  \circ : G \times G \rightarrow G
  2. Assoziativgesetz: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c für alle a,b,c \in G.
  3. Einheitselement: Es existiert ein e \in G, so dass für alle a \in G gilt: a \circ e = e \circ a = a.
  4. Inverses Element: Für jedes a \in G gibt es ein inverses Element a' \in G (oder auch a^{-1}) so, dass gilt a \circ a' = a' \circ  a = e. Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: a \circ b = b \circ a für alle a,b \in G.
  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

Wie schon aus den VENN-Diagrammen hervorgeht, ist eine Abgeschlossenheit gegeben.

Assoziativität[Bearbeiten]

 (A \triangle B) \triangle C   = A \triangle ( B \triangle C )

Praes22 assoziativ2.png

Es liegt die Assoziativität vor!

Man könnte dies mit der Elementtafel nachweisen (Auszug):

A B C \ A \triangle B  (A \triangle B) \triangle C \ B \triangle C  A \triangle (B \triangle C)
\in \in \in \ \notin \in \ \notin \in
\in \in \notin \ \notin \notin \ \in \notin

neutrales Element (Einheitselement)[Bearbeiten]

Das neutrale Element existiert', es ist die leere Menge \varnothing, denn A \bigtriangleup \varnothing = \varnothing \bigtriangleup A = A \qquad \forall A \in \mathfrak{P}(M).

Inverses Element[Bearbeiten]

Auch das inverse Element existiert, und zwar A' = A: jedes Element ist zu sich selbst invers denn A \bigtriangleup A' = A' \bigtriangleup A = \varnothing\qquad \forall A \in \mathfrak{P}(M)

\overline{A} ist im folgenden das Komplement von A

A \triangle A' = (A \cap \overline{A}) \cup (\overline{A} \cap A)

Beruhend auf dem Gesetzen von de Morgan und dem Distributivgesetz folgt dann: A \cap \overline{A} = \overline{A} \cap A = \emptyset

Versuch einer Erklärung zu f.thread:37942 --Mnemetz 20:39, 12. Dez 2005 (CET)

Kommutativität[Bearbeiten]

Auch eine Kommutativität liegt vor.

\mathfrak{P}(M): (A \bigtriangleup B) = (A \backslash B) \cup (B \backslash A) = (A \cup B) \backslash (A \cap B) - die symmetrische Differenz ist daher kommutativ

Schlussfolgerung[Bearbeiten]

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Webressourcen[Bearbeiten]