TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 379

Man zeige, daß die von ${\overline {5}}$ erzeugte Untergruppe $U$ von $\langle \mathbb {Z} _{15},+\rangle$ ein Normalteiler von $\langle \mathbb {Z} _{15},+\rangle$ ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe $\mathbb {Z} _{15}/U$.

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Hilfreiches

Normalteiler

Normalteiler

Eine Untergruppe $N\leq G$ heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. $aN=Na,\forall a\in G$. Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen $\{aN\mid a\in G\}$ bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe $G/N$.

Lösung

Man zeige, dass die von 5 erzeugte Untergruppe U von <Z15, +> Normalteiler ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe Z15 / U.

U = <5> = {0, 5, 10}

U ist Normalteiler, weil <Z15, +> kommutativ ist, und daher die Linksnebenklassen mit den Rechtsnebenklassen übereinstimmen müssen.

Nebenklassen:

a := 0 + U = 5 + U = 10 + U = {0, 5, 10}
b := 1 + U = 6 + U = 11 + U = {1, 6, 11}
c := 2 + U = 7 + U = 12 + U = {2, 7, 12}
d := 3 + U = 8 + U = 13 + U = {3, 8, 13}
e := 4 + U = 9 + U = 14 + U = {4, 9, 14}

Verknüpfungstafel:

${\begin{array}{c|ccccc}+&a&b&c&d&e\\\hline a&a&b&c&d&e\\b&b&c&d&e&a\\c&c&d&e&a&b\\d&d&e&a&b&c\\e&e&a&b&c&d\end{array}}$

Ist also isomorph zu <Z5,+>

Siehe auch:

Ähnliche Beispiele:

  Beispiel 258
  Beispiel 259
  Beispiel 261

Wikipädia:

• Gruppentheorie
• Untergruppe
• Normalteiler
• Nebenklasse
• Faktorgruppe