TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 381

Aus VoWi
Wechseln zu: Navigation, Suche

Seien \varphi:G\rightarrow H und \psi:H\rightarrow K Gruppenhomomorphismen. Man zeige: \psi\circ\varphi: G\rightarrow K ist auch ein Gruppenhomomorphismus.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Die Verkettung von Funktionen ist wie folgt definiert: \left(g\circ f\right)(x):=g\left(f\left(x\right)\right) (Quelle: Wikipedia)

Wir verwenden die Gruppen G, H und K mit den Operationen \bullet, \star und \ast. Ausserdem soll gelten

 a, b \in G
 c, d \in H
 x, y \in K

Da \varphi(G) und \psi(H) Gruppenhomomorphismen sind, wissen wir, das die folgenden beiden Gleichungen gelten:

 \varphi( a \bullet b ) = \varphi( a ) \star \varphi( b )
 \psi( c \star d ) = \psi( c ) \ast \psi( d )

Zu zeigen ist jetzt laut Angabe die folgende Behauptung:

 \psi \circ \varphi( a \bullet b ) = \psi \circ \varphi( a ) \ast \psi \circ \varphi( b )

Wenn wir jetzt die Definition der Verkettung einsetzen erhalten wir

 \psi ( \varphi( a \bullet b ) ) = \psi ( \varphi( a ) ) \ast \psi ( \varphi( b ) )

Einsetzen der Gleichung für den ersten Gruppenhomomorphismus auf der linken Seite bringt uns auf

 \psi( \varphi( a ) \star \varphi( b ) ) = \psi ( \varphi( a ) ) \ast \psi ( \varphi( b ) )

Und das diese Gleichung gültig ist, sieht man, wenn man \varphi( a ) = c und \varphi( b ) = d einsetzt. Dadurch erhält man nämlich nichts anderes als die Gleichung des zweiten Gruppenhomomorphismus.

mfg, W wallner

Links[Bearbeiten]