TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 265

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Sei \varphi:G\rightarrow H ein bijektiver Gruppenhomomorphismus. Man zeige, daß dann auch \varphi^{-1}:H\rightarrow G ein Gruppenhomomorphismus ist.

Hilfreiches[edit]

Definition:

Eine Gruppe <G, \circ> ist eine Menge G mit einer Verknüpfung \circ, so dass folgende Axiome gelten:

  • abgeschlossen bzgl. seiner Operation \circ
  • assoziativ (\forall a,b,c \in G:\quad a \circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c),
  • beinhaltet ein neutrales Element (\exists e \in G: \forall a \in G:\quad a \circ e=e \circ a = a
  • sowie inverse Elemente (\forall a \in G \exists a^{-1} \in G:\quad a\circ a^{-1}=a^{-1} \circ a = e.

Definition:

Seien <G, \bullet> und <H, \star> Gruppen.

Eine Abbildung \varphi:G\rightarrow H heißt Homomorphismus, falls gilt: \varphi(a\bullet b)=\varphi(a)\star\varphi(b)\quad\forall a,b\in G.



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