TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 386
Seien und Gruppenhomomorphismen. Man zeige: ist auch ein Gruppenhomomorphismus.
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oder
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
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Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Verkettung von Funktionen ist wie folgt definiert: (Quelle: Wikipedia)
Wir verwenden die Gruppen G, H und K mit den Operationen , und . Ausserdem soll gelten
Da und Gruppenhomomorphismen sind, wissen wir, das die folgenden beiden Gleichungen gelten:
Zu zeigen ist jetzt laut Angabe die folgende Behauptung:
Wenn wir jetzt die Definition der Verkettung einsetzen erhalten wir
Einsetzen der Gleichung für den ersten Gruppenhomomorphismus auf der linken Seite bringt uns auf
Und das diese Gleichung gültig ist, sieht man, wenn man und einsetzt. Dadurch erhält man nämlich nichts anderes als die Gleichung des zweiten Gruppenhomomorphismus.
mfg, W wallner