TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 395

Sei $(G,*)$ eine Gruppe. Untersuchen Sie, ob $(G\times G,\circ )$ mit $(a,b)\circ (c,d)=(a*c,b*d)$ ebenfalls eine Gruppe ist.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Berti

ACHTUNG: Ich bin mir nicht sicher, ob das mathematisch korrekt ist.

$(G,*)$ ist eine Gruppe. Das heißt es gelten die folgenden Gruppenkriterien (Gruppenaxiome):

• Abgeschlossen: $\forall a,b\in G:a*b\in G$
• Assoziativ: $\forall a,b,c\in G:(a*b)*c=a*(b*c)$
• Neutrales Element: $\forall a\in G:a*e=e*a=a$
• Für jedes Element gibt es in inverses Element: $\forall a\in G\exists a^{-1}\in G:a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$

Die Menge $G$ kann man sich vorstellen wie $G=\{a,b,c,\ldots \}$, die Menge $G\times G$ wie $G\times G=\{(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),\ldots ,(b,a),\ldots \}$. Das heißt also, die Menge $G\times G$ besteht aus Tupeln, die aus einem Produkt der Menge $G$ mit sich selbst entstehen.

Abgeschlossenheit

Verknüpft man zwei Elemente der Menge $G\times G$ miteinander, so muss das Ergebnis wieder in $G\times G$ liegen. Das heißt, dass z.B. $(G\times G,\circ )$ mit $(a,b)\circ (c,d)$ wieder $\in G\times G$ sein muss. Nachdem $a*c\in G$ und $b*d\in G$ sind, muss es demnach auch das Tupel $(a*c,b*d)\in G\times G$ geben. Dies ergibt sich aus der Eigenschaft, dass $(G,*)$ ja eine Gruppe ist.

Assoziativität

$((a,b)\circ (c,d))\circ (e,f)=(a,b)\circ ((c,d)\circ (e,f))$

$(a*c,b*d)\circ (e,f)=(a,b)\circ (c*e,d*f)$

$(a*c*e,b*d*f)=(a*c*e,b*d*f)$

Assoziativität ist damit gegeben.

Neutrales Element

$(a,b)\circ (e,e)=(e,e)\circ (a,b)=(a*e,b*e)=(a,b)$

Nachdem $(G,*)$ eine Gruppe ist, muss $a*e\in G$ bzw. $b*e\in G$ sein, also muss die Existenz eines neutralen Elements gegeben sein. Somit ist auch die Existenz eines neutralen Elements für $(G\times G,\circ )$ gegeben.

Inverses Element

$(a,b)\circ (a',b')=(a',b')\circ (a,b)=(a*a',b*b')=(e,e)$

Hier ist die Argumentation gleich wie beim neutralen Element. Wir machen uns die Eigenschaft, dass $(G,*)$ eine Gruppe ist zu nutze und argumentieren, dass das somit auch für die neu erzeugte Gruppe gelten muss.

Nachdem alle vier Eigenschaften erfüllt sind, muss es sich bei $(G\times G,\circ )$ auch wieder um eine Gruppe handeln.

-- Berti933 (Diskussion) 20:12, 23. Jan. 2015 (CET)