TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 412

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\lbrace 0,1\rbrace$ mit der Addition modulo 2 und dem Produkt $a\cdot b=0$ für alle $a,b\in M$.

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Hilfreiches

Ring

(Definition 2.61)

Eine algebraische Struktur $(R,+,\cdot )$ ist ein Ring, wenn:

• $(R,+)$ ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element 0) (Anm.: = "abelsche Gruppe"),
• $(R,\cdot )$ ist eine Halbgruppe,
• es gelten die Distributivgesetze:
  • $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
  • $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

Ring mit Einselement

• $(R,\cdot )$ besitzt ein neutrales Element (= Monoid)

kommutativer Ring

• $(R,\cdot )$ ist kommutativ

Integritätsring

Integritätsring

Kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler.

Körper

(Definition 2.66)

• Integritätsring mit multiplikative Inversen

Gruppe

(Definition 2.37)

• Halbgruppe
  • assoziativ
• Monoid
  • assoziativ, neutrales Element
• Gruppe
  • assoziativ, neutrales Element, inverses Element
• abelsche Gruppe
  • assoziativ, neutrales Element, inverses Element

(Definition 2.34)

• assoziativ
  • $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
• neutrales Element
  • $e\circ a=a\circ e=a$
• inverses Element
  • $a\circ a'=a'\circ a=e$
• kommutativ
  • $a\circ b=b\circ a$

Lösungsvorschlag

von --Vodi 18:12, 12. Dez. 2010 (CET)

Als erstes Überprüfen wir einmal, ob M ein Ring ist.

$(R,+)$

Jetzt überprüfen wir, ob $(R,+)$ eine abelsche Gruppe ist.

(Achtung: Addition modulo 2!)

Operationstafel:

${\begin{array}{c|cc}+&0&1\\\hline 0&0&1\\1&1&0\\\end{array}}$

Assoziativ?

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

$(0\circ 1)\circ 0=0\circ (1\circ 0)$

$1\circ 0=0\circ 1$

$1=1$ w.A.

neutrales Element?

$e\circ a=a\circ e=a$

$e:=0,a:=1$

$0\circ 1=1\circ 0=1$

$1=1=1$ w.A.

inverses Element?

$a\circ a'=a'\circ a=e$

$a:=1,a':=1$

$1\circ 1=1\circ 1=0$

$0=0=0$ w.A.

kommutativ?

$a\circ b=b\circ a$

$a:=0,b:=1$

$0\circ 1=1\circ 0$

$1=1$ w.A.

Alle vier Anforderungen erfüllt: $(R,+)$ ist eine abelsche Gruppe

$(R,\cdot )$

Jetzt müssen wir überprüfen, ob $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist.

Wieder eine Operationstafel:

${\begin{array}{c|cc}\cdot &0&1\\\hline 0&0&0\\1&0&0\\\end{array}}$

Da $a\cdot b=0\forall a,b\in M$

Assoziativ?

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

$(0\circ 1)\circ 0=0\circ (1\circ 0)$

$0\circ 0=0\circ 0$

$0=0$ w.A.

Distributivgesetze

Jetzt überprüfen wir, ob die Distributivgesetze gelten:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

$0\cdot (0+1)=0\cdot 0+0\cdot 1$

$0\cdot 1=0+0$

$0=0$ w.A.

$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

$(0+0)\cdot 1=0\cdot 1+0\cdot 1$

$0\cdot 1=0+0$

$0=0$ w.A.

Daraus schließen wir, dass es auf jedenfall ein Ring ist. Jetzt können wir überprüfen, ob M ein Integritätsring ist.

Dazu überprüfen wir, ob der Ring ein Einselement hat, sprich $(M,\cdot )$ ein neutrales Element hat.

$e\circ a=a\circ e=a$

für a setzen wir 1 ein:

$e\cdot 1=1\cdot e=1$

Nun gibt es aber kein Element e, für dass die Aussage gilt --> es existiert kein neutrales Element.

Daher kann der Ring kein Integritätsring und auch kein Körper sein.

Lösungsvorschlag Me.Name

Addition siehe oben.

Meiner Meinung nach sollte die Operationstafel der Multiplikation so aussehen:

${\begin{array}{c|cc}\cdot &0&1\\\hline 0&0&0\\1&0&1\\\end{array}}$

Es heißt ja $a\cdot b=0$ und nicht $b\cdot b=0$!

ACHTUNG: EDIT @Ombalat: Die Aussage stimmt nicht. L.t. Angabe gilt $\forall a,b\in M:a\cdot b=0$ Das schließt den Fall a=b mit ein!

Aus dieser Operationstafel folgt nun, dass es ein 1 Element (neutrales Element der Multiplikation) gibt. Folglich mindestens Intigritätsring.

Es geht aber auch hervor, dass 0 kein Inverses besitzt. Deshalb Abbruch => maximal Intigritätsring.

Bleibt noch das Distributivgesetz.

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

$0\cdot (1+1)=0\cdot 1+0\cdot 1$

$0\cdot 0=0+0$

$0=0$

$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

$(0+1)\cdot 1=0\cdot 1+1\cdot 1$

$1\cdot 1=0+1$

$1=1$

Hier sieht man distributivität gegeben. => Ring => Intigritätsring jedoch kein Körper.