TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 404

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Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

M = \lbrace 0,1 \rbrace mit der Addition modulo 2 und dem Produkt a \cdot b = 0 für alle a,b \in M.

Hilfreiches[edit]

Ring[edit]

(Definition 2.61)

Eine algebraische Struktur (R,+,\cdot) ist ein Ring, wenn:

  • (R,+) ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element 0) (Anm.: = "abelsche Gruppe"),
  • (R,\cdot) ist eine Halbgruppe,
  • es gelten die Distributivgesetze:
    • a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c
    • (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

Ring mit Einselement[edit]

  • (R, \cdot) besitzt ein neutrales Element (= Monoid)

kommutativer Ring[edit]

  • (R, \cdot) ist kommutativ
Integritätsring
Integritätsring[Bearbeiten, WP, 2.71 Definition]

Kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler.

Körper[edit]

(Definition 2.66)

  • Integritätsring mit multiplikative Inversen

Gruppe[edit]

(Definition 2.37)

  • Halbgruppe
    • assoziativ
  • Monoid
    • assoziativ, neutrales Element
  • Gruppe
    • assoziativ, neutrales Element, inverses Element
  • abelsche Gruppe
    • assoziativ, neutrales Element, inverses Element

(Definition 2.34)

  • assoziativ
    • (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)
  • neutrales Element
    • e \circ a = a \circ e = a
  • inverses Element
    • a \circ a' = a' \circ a = e
  • kommutativ
    • a \circ b = b \circ a

Lösungsvorschlag[edit]

von --Vodi 18:12, 12. Dez. 2010 (CET)

Als erstes Überprüfen wir einmal, ob M ein Ring ist.

(R, +)[edit]

Jetzt überprüfen wir, ob (R, +) eine abelsche Gruppe ist.

(Achtung: Addition modulo 2!)

Operationstafel:


\begin{array}{c|cc}
+&0&1\\\hline
0&0&1\\
1&1&0\\
\end{array}

Assoziativ?[edit]

(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)

(0 \circ 1) \circ 0 = 0 \circ (1 \circ 0)

1 \circ 0 = 0 \circ 1

1 = 1 w.A.

neutrales Element?[edit]

e \circ a = a \circ e = a

e:=0, a:=1

0 \circ 1 = 1 \circ 0 = 1

1 = 1 = 1 w.A.

inverses Element?[edit]

a \circ a' = a' \circ a = e

a:=1, a':=1

1 \circ 1 = 1 \circ 1 = 0

0 = 0 = 0 w.A.

kommutativ?[edit]

a \circ b = b \circ a

a:=0, b:=1

0 \circ 1 = 1 \circ 0

 1 = 1 w.A.

Alle vier Anforderungen erfüllt: (R, +) ist eine abelsche Gruppe

(R, \cdot )[edit]

Jetzt müssen wir überprüfen, ob (R, \cdot) eine Halbgruppe ist.

Wieder eine Operationstafel:


\begin{array}{c|cc}
\cdot&0&1\\\hline
0&0&0\\
1&0&0\\
\end{array}

Da a \cdot b = 0 \forall a,b \in M

Assoziativ?[edit]

(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)

(0 \circ 1) \circ 0 = 0 \circ (1 \circ 0)

0 \circ 0 = 0 \circ 0

0 = 0 w.A.

Distributivgesetze[edit]

Jetzt überprüfen wir, ob die Distributivgesetze gelten:

a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c

0 \cdot (0 + 1) = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1

0 \cdot 1 = 0 + 0

0 = 0 w.A.

(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

(0 + 0) \cdot 1 = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1

0 \cdot 1 = 0 + 0

0 = 0 w.A.

Daraus schließen wir, dass es auf jedenfall ein Ring ist. Jetzt können wir überprüfen, ob M ein Integritätsring ist.

Dazu überprüfen wir, ob der Ring ein Einselement hat, sprich (M, \cdot) ein neutrales Element hat.

e \circ a = a \circ e = a

für a setzen wir 1 ein:

e \cdot 1 = 1 \cdot e = 1

Nun gibt es aber kein Element e, für dass die Aussage gilt --> es existiert kein neutrales Element.

Daher kann der Ring kein Integritätsring und auch kein Körper sein.

Lösungsvorschlag Me.Name[edit]

Addition siehe oben.

Meiner Meinung nach sollte die Operationstafel der Multiplikation so aussehen:


\begin{array}{c|cc}
\cdot&0&1\\\hline
0&0&0\\
1&0&1\\
\end{array}

Es heißt ja a \cdot b = 0 und nicht b \cdot b = 0 !

ACHTUNG: EDIT @Ombalat: Die Aussage stimmt nicht. L.t. Angabe gilt \forall a,b \in M: a \cdot b = 0 Das schließt den Fall a=b mit ein!

Aus dieser Operationstafel folgt nun, dass es ein 1 Element (neutrales Element der Multiplikation) gibt. Folglich mindestens Intigritätsring.

Es geht aber auch hervor, dass 0 kein Inverses besitzt. Deshalb Abbruch => maximal Intigritätsring.

Bleibt noch das Distributivgesetz.

a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c

0 \cdot (1 + 1) = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1

0 \cdot 0 = 0 + 0

0 = 0

(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

(0 + 1) \cdot 1 = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1

1 \cdot 1 = 0 + 1

1 = 1

Hier sieht man distributivität gegeben. => Ring => Intigritätsring jedoch kein Körper.