TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 412

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Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

mit der Addition modulo 2 und dem Produkt für alle .

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}


Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Definition 2.61)

Eine algebraische Struktur ist ein Ring, wenn:

  • ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element 0) (Anm.: = "abelsche Gruppe"),
  • ist eine Halbgruppe,
  • es gelten die Distributivgesetze:

Ring mit Einselement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • besitzt ein neutrales Element (= Monoid)

kommutativer Ring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist kommutativ
Integritätsring
Integritätsring[Bearbeiten, Wikipedia, 2.71 Definition]

Kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler.

Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Definition 2.66)

  • Integritätsring mit multiplikative Inversen

Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Definition 2.37)

  • Halbgruppe
    • assoziativ
  • Monoid
    • assoziativ, neutrales Element
  • Gruppe
    • assoziativ, neutrales Element, inverses Element
  • abelsche Gruppe
    • assoziativ, neutrales Element, inverses Element

(Definition 2.34)

  • assoziativ
  • neutrales Element
  • inverses Element
  • kommutativ

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

von --Vodi 18:12, 12. Dez. 2010 (CET)

Als erstes Überprüfen wir einmal, ob M ein Ring ist.

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Jetzt überprüfen wir, ob eine abelsche Gruppe ist.

(Achtung: Addition modulo 2!)

Operationstafel:

Assoziativ?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

w.A.

neutrales Element?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

w.A.

inverses Element?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

w.A.

kommutativ?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

w.A.

Alle vier Anforderungen erfüllt: ist eine abelsche Gruppe

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jetzt müssen wir überprüfen, ob eine Halbgruppe ist.

Wieder eine Operationstafel:

Da

Assoziativ?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

w.A.

Distributivgesetze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jetzt überprüfen wir, ob die Distributivgesetze gelten:

w.A.

w.A.

Daraus schließen wir, dass es auf jedenfall ein Ring ist. Jetzt können wir überprüfen, ob M ein Integritätsring ist.

Dazu überprüfen wir, ob der Ring ein Einselement hat, sprich ein neutrales Element hat.

für a setzen wir 1 ein:

Nun gibt es aber kein Element e, für dass die Aussage gilt --> es existiert kein neutrales Element.

Daher kann der Ring kein Integritätsring und auch kein Körper sein.

Lösungsvorschlag Me.Name[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Addition siehe oben.

Meiner Meinung nach sollte die Operationstafel der Multiplikation so aussehen:

Es heißt ja und nicht !

ACHTUNG: EDIT @Ombalat: Die Aussage stimmt nicht. L.t. Angabe gilt Das schließt den Fall a=b mit ein!

Aus dieser Operationstafel folgt nun, dass es ein 1 Element (neutrales Element der Multiplikation) gibt. Folglich mindestens Intigritätsring.

Es geht aber auch hervor, dass 0 kein Inverses besitzt. Deshalb Abbruch => maximal Intigritätsring.

Bleibt noch das Distributivgesetz.

Hier sieht man distributivität gegeben. => Ring => Intigritätsring jedoch kein Körper.