TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 412
Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:
mit der Addition modulo 2 und dem Produkt für alle .
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
(Definition 2.61)
Eine algebraische Struktur ist ein Ring, wenn:
- ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element 0) (Anm.: = "abelsche Gruppe"),
- ist eine Halbgruppe,
- es gelten die Distributivgesetze:
Ring mit Einselement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- besitzt ein neutrales Element (= Monoid)
kommutativer Ring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- ist kommutativ
Kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler.
Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
(Definition 2.66)
- Integritätsring mit multiplikative Inversen
Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
(Definition 2.37)
- Halbgruppe
- assoziativ
- Monoid
- assoziativ, neutrales Element
- Gruppe
- assoziativ, neutrales Element, inverses Element
- abelsche Gruppe
- assoziativ, neutrales Element, inverses Element
(Definition 2.34)
- assoziativ
- neutrales Element
- inverses Element
- kommutativ
Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
von --Vodi 18:12, 12. Dez. 2010 (CET)
Als erstes Überprüfen wir einmal, ob M ein Ring ist.
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Jetzt überprüfen wir, ob eine abelsche Gruppe ist.
(Achtung: Addition modulo 2!)
Operationstafel:
Assoziativ?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
w.A.
neutrales Element?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
w.A.
inverses Element?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
w.A.
kommutativ?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
w.A.
Alle vier Anforderungen erfüllt: ist eine abelsche Gruppe
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Jetzt müssen wir überprüfen, ob eine Halbgruppe ist.
Wieder eine Operationstafel:
Da
Assoziativ?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
w.A.
Distributivgesetze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Jetzt überprüfen wir, ob die Distributivgesetze gelten:
w.A.
w.A.
Daraus schließen wir, dass es auf jedenfall ein Ring ist. Jetzt können wir überprüfen, ob M ein Integritätsring ist.
Dazu überprüfen wir, ob der Ring ein Einselement hat, sprich ein neutrales Element hat.
für a setzen wir 1 ein:
Nun gibt es aber kein Element e, für dass die Aussage gilt --> es existiert kein neutrales Element.
Daher kann der Ring kein Integritätsring und auch kein Körper sein.
Lösungsvorschlag Me.Name[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Addition siehe oben.
Meiner Meinung nach sollte die Operationstafel der Multiplikation so aussehen:
Es heißt ja und nicht !
ACHTUNG: EDIT @Ombalat: Die Aussage stimmt nicht. L.t. Angabe gilt Das schließt den Fall a=b mit ein!
Aus dieser Operationstafel folgt nun, dass es ein 1 Element (neutrales Element der Multiplikation) gibt. Folglich mindestens Intigritätsring.
Es geht aber auch hervor, dass 0 kein Inverses besitzt. Deshalb Abbruch => maximal Intigritätsring.
Bleibt noch das Distributivgesetz.
Hier sieht man distributivität gegeben. => Ring => Intigritätsring jedoch kein Körper.