TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 405

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Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

mit der Addition modulo 3 und dem Produkt für alle .

Anmerkung[edit]

Lösung ist von Beispiel 317 übernommen, nur für die etwas geänderte Angabe angepasst

Hilfreiches[edit]

Ring[edit]

(Definition 2.61)

Eine algebraische Struktur ist ein Ring, wenn:

  • ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element 0) (Anm.: = "abelsche Gruppe"),
  • ist eine Halbgruppe,
  • es gelten die Distributivgesetze:

Ring mit Einselement[edit]

  • besitzt ein neutrales Element (= Monoid)

kommutativer Ring[edit]

  • ist kommutativ

Integritätsring[edit]

(Definition 2.64)

  • kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler

Körper[edit]

(Definition 2.66)

  • Integritätsring mit multiplikative Inversen

Gruppe[edit]

(Definition 2.37)

  • Halbgruppe
    • assoziativ
  • Monoid
    • assoziativ, neutrales Element
  • Gruppe
    • assoziativ, neutrales Element, inverses Element
  • abelsche Gruppe
    • assoziativ, neutrales Element, inverses Element

(Definition 2.34)

  • assoziativ
  • neutrales Element
  • inverses Element
  • kommutativ

Lösungsvorschlag[edit]

von --Vodi 18:12, 12. Dez. 2010 (CET) angepasst von --MatheFreak 23:12, 15. Dez. 2010 (CET)

Als erstes Überprüfen wir einmal, ob M ein Ring ist.

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Jetzt überprüfen wir, ob eine abelsche Gruppe ist.

(Achtung: Addition modulo 3!) *Edit peter1058: von modulo 2 auf modulo 3 geändert --> Angabe!

Operationstafel:

Assoziativ?[edit]

w.A.

neutrales Element?[edit]

w.A.

inverse Elemente?[edit]

Null ist neutrale Element und daher automatisch zu sich selbst invers.

w.A.

(zu alle Elementen in M existiert auch ein Inverses)

kommutativ?[edit]

w.A.

Alle vier Anforderungen erfüllt: ist eine abelsche Gruppe

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Jetzt müssen wir überprüfen, ob eine Halbgruppe ist.

Wieder eine Operationstafel:

Da

Assoziativ?[edit]

w.A.

Distributivgesetze[edit]

Jetzt überprüfen wir, ob die Distributivgesetze gelten:

f.A.

es ist nicht distributiv, daher kann es kein Ring und in weiterer Folge auch kein Integritätsring oder Körper sein