Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:
mit der Addition modulo 3 und dem Produkt für alle .
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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
Lösung ist von Beispiel 317 übernommen, nur für die etwas geänderte Angabe angepasst
(Definition 2.61)
Eine algebraische Struktur ist ein Ring, wenn:
- ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element 0) (Anm.: = "abelsche Gruppe"),
- ist eine Halbgruppe,
- es gelten die Distributivgesetze:
- besitzt ein neutrales Element (= Monoid)
- ist kommutativ
(Definition 2.64)
- kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler
(Definition 2.66)
- Integritätsring mit multiplikative Inversen
(Definition 2.37)
- Halbgruppe
- Monoid
- assoziativ, neutrales Element
- Gruppe
- assoziativ, neutrales Element, inverses Element
- abelsche Gruppe
- assoziativ, neutrales Element, inverses Element (Anmerkung: muss auch kommutativ sein oder?)
(Definition 2.34)
- assoziativ
- neutrales Element
- inverses Element
- kommutativ
von --Vodi 18:12, 12. Dez. 2010 (CET)
angepasst von --MatheFreak 23:12, 15. Dez. 2010 (CET)
Als erstes Überprüfen wir einmal, ob M ein Ring ist.
Jetzt überprüfen wir, ob eine abelsche Gruppe ist.
(Achtung: Addition modulo 3!) *Edit peter1058: von modulo 2 auf modulo 3 geändert --> Angabe!
Operationstafel:
w.A.
w.A.
Null ist neutrale Element und daher automatisch zu sich selbst invers.
w.A.
(zu alle Elementen in M existiert auch ein Inverses)
w.A.
Alle vier Anforderungen erfüllt: ist eine abelsche Gruppe
Jetzt müssen wir überprüfen, ob eine Halbgruppe ist.
Wieder eine Operationstafel:
Da
w.A.
Jetzt überprüfen wir, ob die Distributivgesetze gelten:
f.A.
es ist nicht distributiv, daher kann es kein Ring und in weiterer Folge auch kein Integritätsring oder Körper sein