TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 413

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\lbrace 0,1,2\rbrace$ mit der Addition modulo 3 und dem Produkt $a\cdot b=1$ für alle $a,b\in M$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Anmerkung

Lösung ist von Beispiel 317 übernommen, nur für die etwas geänderte Angabe angepasst

Hilfreiches

Ring

(Definition 2.61)

Eine algebraische Struktur $(R,+,\cdot )$ ist ein Ring, wenn:

• $(R,+)$ ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element 0) (Anm.: = "abelsche Gruppe"),
• $(R,\cdot )$ ist eine Halbgruppe,
• es gelten die Distributivgesetze:
  • $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
  • $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

Ring mit Einselement

• $(R,\cdot )$ besitzt ein neutrales Element (= Monoid)

kommutativer Ring

• $(R,\cdot )$ ist kommutativ

Integritätsring

(Definition 2.64)

• kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler

Körper

(Definition 2.66)

• Integritätsring mit multiplikative Inversen $\forall a\in R$

Gruppe

(Definition 2.37)

• Halbgruppe
  • assoziativ
• Monoid
  • assoziativ, neutrales Element
• Gruppe
  • assoziativ, neutrales Element, inverses Element
• abelsche Gruppe
  • assoziativ, neutrales Element, inverses Element (Anmerkung: muss auch kommutativ sein oder?)

(Definition 2.34)

• assoziativ
  • $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
• neutrales Element
  • $e\circ a=a\circ e=a$
• inverses Element
  • $a\circ a'=a'\circ a=e$
• kommutativ
  • $a\circ b=b\circ a$

Lösungsvorschlag

von --Vodi 18:12, 12. Dez. 2010 (CET) angepasst von --MatheFreak 23:12, 15. Dez. 2010 (CET)

Als erstes Überprüfen wir einmal, ob M ein Ring ist.

$(M,+)$

Jetzt überprüfen wir, ob $(R,+)$ eine abelsche Gruppe ist.

(Achtung: Addition modulo 3!) *Edit peter1058: von modulo 2 auf modulo 3 geändert --> Angabe!

Operationstafel:

${\begin{array}{c|ccc}+&{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {2}}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {2}}\\{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {2}}&{\overline {0}}\\{\overline {2}}&{\overline {2}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}\\\end{array}}$

Assoziativ?

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

$({\overline {0}}\circ {\overline {1}})\circ {\overline {2}}={\overline {0}}\circ ({\overline {1}}\circ {\overline {2}})$

${\overline {1}}\circ {\overline {2}}={\overline {0}}\circ {\overline {0}}$

${\overline {0}}={\overline {0}}$ w.A.

neutrales Element?

$e\circ a=a\circ e=a$

$e:={\overline {0}},a:={\overline {1}}$

${\overline {0}}\circ {\overline {1}}={\overline {1}}\circ {\overline {0}}={\overline {1}}$

$1=1=1$ w.A.

inverse Elemente?

$a\circ a'=a'\circ a=e$

Null ist neutrale Element und daher automatisch zu sich selbst invers.

$a:={\overline {1}},a':={\overline {2}}$

${\overline {1}}\circ {\overline {2}}={\overline {2}}\circ {\overline {1}}={\overline {0}}$

${\overline {0}}={\overline {0}}={\overline {0}}$ w.A.

$\Rightarrow {\overline {1}}{\text{ ist das inverse zu }}{\overline {2}}{\text{ und }}{\overline {2}}{\text{ ist das Inverse zu }}{\overline {1}}$

$\Rightarrow \exists a^{-1}\forall a\in M$ (zu alle Elementen in M existiert auch ein Inverses)

kommutativ?

$a\circ b=b\circ a$

$a:={\overline {0}},b:={\overline {1}}$

${\overline {0}}\circ {\overline {1}}={\overline {1}}\circ {\overline {0}}$

${\overline {1}}={\overline {1}}$ w.A.

Alle vier Anforderungen erfüllt: $(M,+)$ ist eine abelsche Gruppe

$(M,\cdot )$

Jetzt müssen wir überprüfen, ob $(M,\cdot )$ eine Halbgruppe ist.

Wieder eine Operationstafel:

${\begin{array}{c|ccc}\cdot &{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {2}}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}\\{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}\\{\overline {2}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}\\\end{array}}$

Da $a\cdot b=1\forall a,b\in M$

Assoziativ?

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

$({\overline {0}}\circ {\overline {1}})\circ {\overline {2}}={\overline {0}}\circ ({\overline {1}}\circ {\overline {2}})$

${\overline {1}}\circ {\overline {2}}={\overline {1}}\circ {\overline {2}}$

${\overline {1}}={\overline {1}}$ w.A.

Distributivgesetze

Jetzt überprüfen wir, ob die Distributivgesetze gelten:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

${\overline {0}}\cdot ({\overline {1}}+{\overline {2}})={\overline {0}}\cdot {\overline {1}}+{\overline {0}}\cdot {\overline {2}}$

${\overline {0}}\cdot {\overline {0}}={\overline {1}}+{\overline {1}}$

${\overline {1}}={\overline {2}}$ f.A.

$\Rightarrow$ es ist nicht distributiv, daher kann es kein Ring und in weiterer Folge auch kein Integritätsring oder Körper sein