TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 415

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2}\}$ mit der Addition modulo $3$ und dem Produkt $a\cdot b=\bar{1}$ für alle $a,b\in M$.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Anmerkung

Lösung ist von Beispiel 317 übernommen, nur für die etwas geänderte Angabe angepasst

Hilfreiches

Ring

(Definition 2.61)

Eine algebraische Struktur $(R,+,\cdot )$ ist ein Ring, wenn:

• $(R,+)$ ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element 0) (Anm.: = "abelsche Gruppe"),
• $(R,\cdot )$ ist eine Halbgruppe,
• es gelten die Distributivgesetze:
  • $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
  • $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

Ring mit Einselement

• $(R,\cdot )$ besitzt ein neutrales Element (= Monoid)

kommutativer Ring

• $(R,\cdot )$ ist kommutativ

Integritätsring

(Definition 2.64)

• kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler

Körper

(Definition 2.66)

• Integritätsring mit multiplikative Inversen $\mathrm{\forall }a\in R$

Gruppe

(Definition 2.37)

• Halbgruppe
  • assoziativ
• Monoid
  • assoziativ, neutrales Element
• Gruppe
  • assoziativ, neutrales Element, inverses Element
• abelsche Gruppe
  • assoziativ, neutrales Element, inverses Element (Anmerkung: muss auch kommutativ sein oder?)

(Definition 2.34)

• assoziativ
  • $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
• neutrales Element
  • $e\circ a=a\circ e=a$
• inverses Element
  • $a\circ a^{\prime }=a^{\prime }\circ a=e$
• kommutativ
  • $a\circ b=b\circ a$

Lösungsvorschlag

von --Vodi 18:12, 12. Dez. 2010 (CET) angepasst von --MatheFreak 23:12, 15. Dez. 2010 (CET)

Als erstes Überprüfen wir einmal, ob M ein Ring ist.

$(M,+)$

Jetzt überprüfen wir, ob $(R,+)$ eine abelsche Gruppe ist.

(Achtung: Addition modulo 3!) *Edit peter1058: von modulo 2 auf modulo 3 geändert --> Angabe!

Operationstafel:

$\begin{array}{cccc}+& \bar{0}& \bar{1}& \bar{2}\\ \bar{0}& \bar{0}& \bar{1}& \bar{2}\\ \bar{1}& \bar{1}& \bar{2}& \bar{0}\\ \bar{2}& \bar{2}& \bar{0}& \bar{1}\end{array}$

Assoziativ?

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

$(\bar{0}\circ \bar{1})\circ \bar{2}=\bar{0}\circ (\bar{1}\circ \bar{2})$

$\bar{1}\circ \bar{2}=\bar{0}\circ \bar{0}$

$\bar{0}=\bar{0}$ w.A.

neutrales Element?

$e\circ a=a\circ e=a$

$e:=\bar{0},a:=\bar{1}$

$\bar{0}\circ \bar{1}=\bar{1}\circ \bar{0}=\bar{1}$

$1=1=1$ w.A.

inverse Elemente?

$a\circ a^{\prime }=a^{\prime }\circ a=e$

Null ist neutrale Element und daher automatisch zu sich selbst invers.

$a:=\bar{1},a^{\prime }:=\bar{2}$

$\bar{1}\circ \bar{2}=\bar{2}\circ \bar{1}=\bar{0}$

$\bar{0}=\bar{0}=\bar{0}$ w.A.

$\Rightarrow \bar{1}\text{ ist das inverse zu }\bar{2}\text{ und }\bar{2}\text{ ist das Inverse zu }\bar{1}$

$\Rightarrow \mathrm{\exists }{a}^{-1}\mathrm{\forall }a\in M$ (zu alle Elementen in M existiert auch ein Inverses)

kommutativ?

$a\circ b=b\circ a$

$a:=\bar{0},b:=\bar{1}$

$\bar{0}\circ \bar{1}=\bar{1}\circ \bar{0}$

$\bar{1}=\bar{1}$ w.A.

Alle vier Anforderungen erfüllt: $(M,+)$ ist eine abelsche Gruppe

$(M,\cdot )$

Jetzt müssen wir überprüfen, ob $(M,\cdot )$ eine Halbgruppe ist.

Wieder eine Operationstafel:

$\begin{array}{cccc}\cdot & \bar{0}& \bar{1}& \bar{2}\\ \bar{0}& \bar{1}& \bar{1}& \bar{1}\\ \bar{1}& \bar{1}& \bar{1}& \bar{1}\\ \bar{2}& \bar{1}& \bar{1}& \bar{1}\end{array}$

Da $a\cdot b=1\mathrm{\forall }a,b\in M$

Assoziativ?

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

$(\bar{0}\circ \bar{1})\circ \bar{2}=\bar{0}\circ (\bar{1}\circ \bar{2})$

$\bar{1}\circ \bar{2}=\bar{1}\circ \bar{2}$

$\bar{1}=\bar{1}$ w.A.

Distributivgesetze

Jetzt überprüfen wir, ob die Distributivgesetze gelten:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

$\bar{0}\cdot (\bar{1}+\bar{2})=\bar{0}\cdot \bar{1}+\bar{0}\cdot \bar{2}$

$\bar{0}\cdot \bar{0}=\bar{1}+\bar{1}$

$\bar{1}=\bar{2}$ f.A.

$\Rightarrow$ es ist nicht distributiv, daher kann es kein Ring und in weiterer Folge auch kein Integritätsring oder Körper sein

Hilfsmittel von Har203

Abelsche Gruppe

Abelsche Gruppe

Eine Abelsche Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\to G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\mathrm{\exists }e\in G:\mathrm{\forall }a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a^{\prime }$: $\mathrm{\forall }a\in G:\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$
• sowie ist in allen Formen kommutativ bzw. abelsch: $\mathrm{\forall }a,b\in G:a\circ b=b\circ a$

Ring

Ring

Ein Ring $(R,+,\cdot )$ ist eine Menge $R$ mit zwei binären Operationen $+$ und $\cdot$, sodass

• $(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist,
• $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist,
• die Distributivgesetze

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und

$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

für alle $a,b,c\in R$ gelten.

Nullteiler

In einem Ring kann das Produkt zweier von $0$ verschiedener Elemente trotzdem $0$ sein. Z.B. gilt in ${\mathbb{Z}}_6$ die Beziehung $\bar{2}\cdot \bar{3}=\bar{6}=\bar{0}$. Man nennt im Allgemeinen ein Element $a\ne 0$ eines Ringes $R$ Nullteiler, wenn es ein $b\ne 0$ aus $R$ gibt, so dass $a\cdot b=0$ oder $b\cdot a=0$ ist. Dieses $b$ ist damit natürlich auch ein Nullteiler. Ringe ohne Nullteiler werden gesondert betrachtet.

Integritätsring

Integritätsring

Kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler.

Körper

Ein kommutativer Ring $⟨K,+,\cdot ⟩$ mit Einselement $1\ne 0$, in dem jedes Element $a\ne 0$ eine Einheit ist, also ein multiplikatives Inverses besitzt, heißt ein Körper.

Lösung von Har203

--Har203 18:41, 28. Feb. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\{0,1\}$ mit der Addition modulo $2$ und dem Produkt $a\cdot b=\bar{1}$ für alle $a,b\in M$.

Z.z.: $⟨M,+⟩$ ist eine abelsche Gruppe:

Wir schauen uns zuerst einmal die Operationstafeln $\mathbf{(}\mathbf{+}mod2\mathbf{)}$ an

$\begin{array}{ccc}\mathbf{+}& \bar{0}& \bar{1}\\ \bar{0}& \bar{0}& \bar{1}\\ \bar{1}& \bar{1}& \bar{0}\end{array}$

Wir schauen uns jetzt die Operationstafeln $\mathbf{(}\mathbf{\cdot }\mathbf{\to }\overline{\mathrm{𝟏}}\mathbf{)}$ an

$\begin{array}{ccc}\mathbf{\cdot }& \bar{0}& \bar{1}\\ \bar{0}& \bar{1}& \bar{1}\\ \bar{1}& \bar{1}& \bar{1}\end{array}$

Wie aus der Operationstafel der Multiplikation erkennbar ist, gibt es keine Nullteiler.

Für die weiteren Beweise werden wir folgende drei Variablen aus der Menge $M$ verwenden: $a,b,c\in M$.

Gruppe

Bei $⟨M,+⟩$ handelt es sich um eine Gruppe, die zu $⟨{\mathbb{Z}}_2,+⟩$ isomorph ist: $⟨M,+⟩\cong ⟨\cong {\mathbb{Z}}_2,+⟩$. Damit können wir voraussetzen, dass dies eine abelsche, zyklische Gruppe.

1. Assoziativität: $\mathrm{\forall }a,b,c\in M$ gilt$:(a+b)+c=a+(b+c)$. $\surd$
2. Existenz eines neutralen Elementes bezüglich der Addition: Es gibt ein neutrales Element: $\bar{0}\in M$ mit $\mathrm{\forall }a\in M$ gilt$:a+\bar{0}=\bar{0}+a=a$. $\surd$
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existiert ein inverses Element: $\mathrm{\forall }a\in M$ gilt$:\mathrm{\exists }(-a)\in M$ mit$:a+(-a)=(-a)+a=\bar{0}$. $\surd$
4. Kommutativität: Für alle Elemente $a,b\in M$ gilt$:(a+b)=(b+a)$. $\surd$

$⟹$ Wir haben $⟨M,+⟩$ als abelsche Gruppe mit neutralem Element $\bar{0}$.

Ring

Für einen Ring $⟨M,+,\cdot ⟩$ werden wir folgende drei Eigenschaften prüfen:

1. $⟨M,+⟩$ ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element $\bar{0}$. $\surd$
2. $⟨M,\cdot ⟩$ ist eine Halbgruppe, und
3. es gelten die beiden Distributivgesetze

• Abgeschlossenheit: Die Operationstafel von $(\cdot )$ ist abgeschlossen, da in der Operationstafel nur ein einziges Element $\bar{1}\in M$ enthalten ist.

• Assoziativität bezüglich $\cdot$:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in M$ gilt$:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Egal wie, das Ergebnis ist immer $\bar{1}$. Bezüglich der Operation $\cdot$ gilt damit das Assoziativgesetz.

• Kommutativität bezüglich $\mathbf{\cdot }$: $\mathrm{\forall }a,b\in M$ gilt$:(a\cdot b)=(b\cdot a)$.

Da in der Operationstafel nur das Element $\bar{1}$ vorkommt, gilt das Kommutativgesetz bezüglich $\mathbf{\cdot }$ natürlich.

• Für die beiden Distributivgesetze müssen folgende Eigenschaften gelten:

$\begin{array}{cc}a\cdot (b+c)& =a\cdot b+a\cdot c\\ (a+b)\cdot c& =a\cdot c+b\cdot c\end{array}\}\mathrm{\forall }a,b,c\in M.$

• 1.Distributivgesetz: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$:

Jede Multiplikation liefert das Ergebnis $\bar{1}⟹a\cdot (b+c)=\bar{1}=(a\cdot b)+(a\cdot c)=(\bar{1})+(\bar{1})=\bar{0}\ne \bar{1},\mathrm{\forall }a,b,c\in M$.

$⟹$ Das $1.\text{ Distributivgesetz}$ gilt in dieser Struktur nicht.

• 2. Distributivgesetz: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$:

Analog zum 1. DG: Jede Multiplikation liefert das Ergebnis $\bar{1}⟹(a+b)\cdot c=\bar{1}=(a\cdot c)+(b\cdot c)=(\bar{1})+(\bar{1})=\bar{0}\ne \bar{1},\mathrm{\forall }a,b,c\in M$.

$⟹$ Das $2.\text{ Distributivgesetz}$ gilt in dieser Struktur nicht.

Zusätze

• Einselement bezüglich $\cdot$: Es gibt $\text{kein Einselement}$ in $M$ bezüglich der Multiplikation.

• Kommutativität: haben wir schon gezeigt.

$⟹$ $⟨M,+⟩$ ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element $\bar{0}$.

$⟹$ $⟨M,\cdot ⟩$ ist eine kommutative Halbgruppe $\text{ohne Einselement}$. Die beiden Distributivgesetze gelten nicht.

Das Gesamtergebnis $⟹$ $⟨M,+,\cdot ⟩$ ist weder ein Ring, noch ein Integritätsring und auch kein Körper. $◼$

Links

Wikipedia:

• Gruppe
• Abelsche Gruppe
• Ring
• Nullteiler
• Integritätsring
• Körper

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