TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS18/Beispiel 414

Gibt es eine Menge $\mathbb {K}$ mit $\mathbb {R} \subsetneq \mathbb {K} \subsetneq \mathbb {C}$, die mit der üblichen Addition bzw. Multiplikation einen Körper bildet?

Hilfreiches

Definition der komplexen Zahlen (Von Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl)

Die komplexen Zahlen lassen sich als Zahlbereich im Sinne einer Menge von Zahlen, für die die Grundrechenarten Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division erklärt sind, mit den folgenden Eigenschaften definieren:

1. Die reellen Zahlen sind in den komplexen Zahlen enthalten. Das heißt, dass jede reelle Zahl eine komplexe Zahl ist.
2. Das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen.
3. Das Distributivgesetz gilt.
4. Für jede komplexe Zahl $x$ existiert eine komplexe Zahl $-x$, sodass $x+(-x)=0$.
5. Für jede von null verschiedene komplexe Zahl $x$ existiert eine komplexe Zahl ${\tfrac {1}{x}}$, sodass ${\tfrac {1}{x}}\cdot x=1$.
6. Es existiert eine komplexe Zahl $i$ mit der Eigenschaft $i^{2}=-1$.
7. Unter allen Zahlbereichen mit den zuvor genannten Eigenschaften sind die komplexen Zahlen minimal.

Lösungsvorschlag von Nicram

Nein, weil die Teilmenge keine echte Teilmenge von den komplexen Zahlen und keine echte Obermenge von den reellen Zahlen währe.

Gehen wir Mal alle Punkte die die komplexen Zahlen definieren durch.

1. Laut der Angabe ist Menge der reellen Zahlen in der Menge K enthalten.

2. und 3. gelten, weil es sich bei $\mathbb {K}$ um einen Körper handelt.

4. und 5. sind die Inversen Elemente bezüglich der Addition und der Multiplikation ohne {0}, und die sind in einem Körper enthalten.

6. Da $\mathbb {K}$ eine echte Obermenge der reellen Zahlen ist, muss es mindestens eine komplexe Zahl mit $i$ geben. Durch die Addition und Multiplikation kann daraus $i$ abgeleitet werden. $i*i$ ergibt $-1$.

Beispiel: $3+4i$ mit $-3$ addieren folgt $4i$ und mit ${\tfrac {1}{4}}$ dividieren folgt $i$.

Da alle vorherig genannten Punkte gelten gilt auch der 7. Punkt.

Da alle vorherig genannten Punkte gelten sind im Körper $\mathbb {K}$ alle Elemente der $\mathbb {C}$ Zahlen enthalten, und somit kann $\mathbb {K}$ keine echte Teilmenge der komplexen Zahlen sein.