TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 458

Bildet ${ℝ}^2$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $ℝ$ ?

$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(0,x_2+y_2),\lambda \cdot (x_1,x_2)=(0,\lambda \cdot x_2)$.

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Allgemein

Ein Vektorraum $(V,+,K)$, wobei $K$ ein Körper ist und $(V,+)$ eine abelsche Gruppe bildet, erfüllt folgende Eigenschaften:

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$

-) $\lambda \ast (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$

-) $(\lambda +\mu )\ast \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$

-) $(\lambda \ast \mu )\ast \overrightarrow{x}=\lambda \ast (\mu \overrightarrow{x})$

-) $1\ast \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Lösungsvorschlag

Überprüfen ob $(V,+)$ eine abelsche Gruppe ist:

Abgeschlossenheit

$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(0,x_2+y_2)$

Da hier wieder ein Vektor raus kommt, ist es abgeschlossen.

Assoziativgesetz

$(x_1,x_2)+((y_1,y_2)+(z_1,z_2))=((x_1,x_2)+(y_1,y_2))+(z_1,z_2)=(0,x_2+y_2+z_2)$

Assoziativ, da Addition assoziativ ist.

neutrales Element

$(x_1,x_2)+(e_1,e_2)=(0,x_2+e_2)=(0,x_2)$

laut Definition sollte aber:

$(x_1,x_2)+(e_1,e_2)=(x_1,x_2)$

rauskommen.

Somit bildet ${ℝ}^2$ mit der angegebenen Operation kein Vektorraum über $ℝ$.

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 01:25, 4. Mär. 2026 (CET)

Bildet ${ℝ}^2$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $ℝ$ ?

$(x_1,x_2)\oplus (y_1,y_2)=(0,x_2+y_2),\lambda \odot (x_1,x_2)=(0,\lambda \cdot x_2)$.

Addition $⟨V={ℝ}^2,\oplus ⟩$: abelsche Gruppe:

• Abgeschlossen: klar, ohne Beweis.

• Kommutativ: Zu zeigen: $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}=(x_1,x_2),\overrightarrow{y}=(y_1,y_2)\in {ℝ}^2:\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y}=\overrightarrow{y}\oplus \overrightarrow{x}:$

$\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y}=(x_1,x_2)\oplus (y_1,y_2)=(0,x_2+y_2)=(0,y_2+x_2)=𝕏$: Es fehlt das inverses Element.

• Neutrale Element: Zu zeigen: $\mathrm{\exists }\overrightarrow{0}\in R^2$ mit $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{0}:$

$\overrightarrow{x}+\overrightarrow{0}=(x_1,x_2)\oplus (y_1,y_2)=(0,x_2+y_2)⟹(x_1,x_2)\ne (0,x_2+y_2)$, auch nicht mit $y_2=0:\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{0}=(x_1,x_2)\oplus (y_1,0)=(0,x_2)$.

Sei $\overrightarrow{x}=(1,2)\in {ℝ}^2$, dann ist $\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{0}=(1,2)\oplus (y_1,0)=(0,2)\ne (1,2)$. Es gibt kein neutrales Element $\overrightarrow{0}$. $𝕏$.

Damit kann $⟨V={ℝ}^2,\odot ,ℝ⟩$ kein Vektorraum sein.

Gesamtergebnis: $⟨V={ℝ}^2,\oplus ,\odot ⟩$ ist $kein$ Vektorraum über $ℝ$. $◼$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum

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