Sei $V=\left\{\sum _{i=0}^{n}{a_{i}\cdot x^{i}}|a_{i}\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} \right\}$ der Vektorraum aller Polynome mit reellen Koeffizienten. Untersuchen sie, ob dass $1-x+x^{3},3-x^{2}+x^{3},-5+3x+x^{2}-4x^{3}$ linear unabhängig sind

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

lineare Unabhängigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lineare Abhängigkeit

Lineare Abhängigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\lbrace {\overrightarrow {x_{1}}},{\overrightarrow {x_{2}}},\ldots ,{\overrightarrow {x_{n}}}\rbrace$ heißt linear abhängig, wenn

$\exists {\overrightarrow {x_{i}}}:\quad {\overrightarrow {x_{i}}}$ ist Linearkombination aus $\lbrace x_{j}|j\neq i\rbrace$ Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn es keinen Vektor v in der Menge M gibt, der durch Linearkombinationen der anderen Vektoren der Menge dargestellt werden kann.
Mathematisch ausgedrückt:

Um zu zeigen, dass die Vektoren unabhängig sind, muss man beweisen, dass die Linearkombination

$\lambda _{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\lambda _{2}\cdot {\vec {v}}_{2}+\cdots +\lambda _{n}\cdot {\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$

trivial ist, d.h. dass $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\cdots =\lambda _{n}=0$

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\lambda _{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\lambda _{2}\cdot {\vec {v}}_{2}+\lambda _{3}\cdot {\vec {v}}_{3}={\vec {0}}$
$\lambda _{1}\cdot (1-x+x^{3})+\lambda _{2}\cdot (3-x^{2}+x^{3})+\lambda _{3}\cdot (-5+3x+x^{2}-4x^{3})=0\cdot x^{3}+0\cdot x^{2}+0\cdot x^{1}+0\cdot x^{0}$
ausmultipliziert und zusammengefasst ergibt das:
$x^{3}\cdot (\lambda _{1}+\lambda _{2}-4\cdot \lambda _{3})+x^{2}\cdot (-\lambda _{2}+\lambda _{3})+x^{1}\cdot (-\lambda _{1}+3\lambda _{3})+x^{0}\cdot (\lambda _{1}+3\lambda _{3}-5\lambda _{3})=0\cdot x^{3}+0\cdot x^{2}+0\cdot x^{1}+0\cdot x^{0}$
aus dieser Gleichung folgt:
$\lambda _{1}+\lambda _{2}-4\cdot \lambda _{3}=0$
$-\lambda _{2}+\lambda _{3}=0$
$-\lambda _{1}+3\cdot \lambda _{3}=0$
$\lambda _{1}+3\lambda _{2}-5\cdot \lambda _{3}=0$
aus diesen Gleichungen kann man leicht errechnen, dass