TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 600

Im $\mathbb {R} ^{3}$ sei ein verallgemeinertes Skalarprodukt gegeben durch die Matrix

$G={\begin{pmatrix}13&0&-5\\0&9&-6\\-5&-6&6\end{pmatrix}}$

Berechnen Sie für die Vektoren ${\vec {x}}=(1,2,3){\text{ und }}{\vec {y}}=(3,-1,2)$

(a) die Längen von ${\vec {x}}{\text{ und }}{\vec {y}}$

(b) den Winkel $\varphi {\text{ zwischen }}{\vec {x}}{\text{ und }}{\vec {y}}$

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Lösungsvorschlag

von --Piri (Diskussion) 22:39, 29. Dez. 2018 (CET)

(a)

$\qquad ||{\vec {x}}||_{G}={\sqrt {\langle {\vec {x}},{\vec {x}}\rangle _{G}}}={\sqrt {{\vec {x}}^{\;T}\cdot G\cdot {\vec {x}}}}=1$

$||{\vec {y}}||_{G}={\sqrt {\langle {\vec {y}},{\vec {y}}\rangle _{G}}}={\sqrt {114}}$

(b) Für den Winkel benötigen wir noch das normale Skalarprodukt

$\qquad \langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle _{G}={\vec {x}}^{\;T}\cdot G\cdot {\vec {y}}=-4$

$\cos {\varphi }={\frac {\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle _{G}}{||{\vec {x}}||\cdot ||{\vec {y}}||}}\quad \Leftrightarrow \quad \cos {\varphi }={\frac {-4}{1\cdot {\sqrt {114}}}}\quad \Rightarrow \quad \varphi \approx 112^{\circ }$