TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 99

Beweisen Sie die folgenden Beziehung mit Hilfe von Elementtafeln oder geben Sie ein konkretes Gegenbeispiel an:

$A\cap (B\triangle C)\qquad =\qquad (A\cap B)\triangle (A\cap C)$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Auch zu finden im Buch Mathematik für Informatik (Drmota, Gittenberger, Karigl, Panholzer) - 4. erweiterte Auflage 2014 auf Seite 35f.

Mengen-Vereinigung

Mengen-Differenz

Mengen-Differenz

A - B - A\B
e - e - ne
e - ne - e
ne - e - ne
ne - ne - ne


e .... ist Element
ne .... ist kein Element

=)

Mengen-Durchschnitt

A	B	C	B$\triangle$C	A$\cap$()	A$\cap$B	A$\cap$C	()$\triangle$()
$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$
$\notin$	$\notin$	$\in$	$\in$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$
$\notin$	$\in$	$\notin$	$\in$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$
$\notin$	$\in$	$\in$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$
$\in$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$
$\in$	$\notin$	$\in$	$\in$	$\in$	$\notin$	$\in$	$\in$
$\in$	$\in$	$\notin$	$\in$	$\in$	$\in$	$\notin$	$\in$
$\in$	$\in$	$\in$	$\notin$	$\notin$	$\in$	$\in$	$\notin$

Fazit: Die Ausdrücke $A\cap (B\triangle C)$ und $(A\cap B)\triangle (A\cap C)$ sind äquivalent. Es gibt kein Gegenbeispiel.

--Baccus 05:25, 26. Nov 2006 (CET)

---

Lösungsvorschlag von AEA

Lösung durch Gegenbeispiel:

Wir benötigen eine Grundmenge G und die Mengen A, B und C um das Beispiel beweisen zu können.

$G={a,b,c,d}$

$A={a,b}$

$B={b,c}$

$C={c,d}$

Linke Seite:

$B\triangle C=A|BUB|A={b,d}$

$A\cap (B\triangle C)=A\cap (B|C$ U $C|B)={b}$

Rechte Seite:

$A\cap B={b}$

$A\cap C=leereMenge$

$A\cap B\cup A\cap C={b}$

Setzt man die Mengen richtig in den linken und den rechten Ausdruck ein, kommt auf beiden Seiten {b} als Lösung heraus.

Somit wären die Ausdrücke $A\cap (B\triangle C)$ und $(A\cap B)\triangle (A\cap C)$ äquivalent. w.A.

Fehler!

mann kann doch nichts durch ein gegenbeispiel beweisen, nur widerlegen! man muss die Elementtafel benutzen