TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS19/Diff SS19
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- 404, 405, 406 eingefügt
diff --git a/ADM.cropped.txt b/algdm-ue-2019w.cropped.txt index 1b40844..151c230 100644 --- a/ADM.cropped.txt +++ b/algdm-ue-2019w.cropped.txt @@ -1087,7 +1087,7 @@ v ∈ V (G) mit d(v) ≤ 1 gibt. 304) Man zeige mit Hilfe eines geeigneten graphentheoretischen Modells, dass es in jeder Stadt mindestens zwei Bewohner mit der gleichen Anzahl von Nachbarn gibt. 305) Man bestimme alle Bäume T , für die auch T κ ein Baum ist. T κ bezeichne den komple- mentären Graphen definiert durch: V (T κ ) = V (T ) und E(T κ ) = (V ×V )\(E(T )∪{(x, x)|x{{x, y} | x, y ∈ V }).} \ E(T ). 306) Sei G ein schlichter Graph mit α0 (G) > 4. Man zeige, daß dann entweder G oder Gκ (der komplementäre Graph, siehe Aufgabe 305) einen Kreis enthält. 307) Für welche m, n besitzt der vollständige bipartite Graph Km,n eine geschlossene Hamil- @@ -1441,56 +1441,69 @@ gruppe sowie deren Nebenklassen in Γ16 . gruppe sowie deren Nebenklassen in Γ18 . 403) Sei G eine Gruppe, deren Ordnung |G| eine Primzahl ist. Man zeige, dass G nur die trivialen Untergruppen {e} und G hat. 404–411)404) Betrachten Sie die Gruppe (C \ {0}, ·). Sei U = {z ∈ C | |z| = 1}. Zeigen Sie, dass U ein Normalteiler von (C \ {0}, ·) ist. Zeigen Sie weiters, dass f : C \ {0} → C \ {0}, z 7→ |z| ein Gruppenhomomorphismus ist und verwenden Sie diesen und den Homomorphiesatz, um eine zu C \ {0}/U isomorphe Untergruppe von (C \ {0}, ·) zu finden. 405) Betrachten Sie die Gruppe (C \ {0}, ·). Zeigen Sie, dass R+ ein Normalteiler von (C \ {0}, ·) ist. Zeigen Sie weiters, dass f : C \ {0} → C \ {0}, z 7→ z/|z| ein Gruppenhomomorphismus ist und verwenden Sie diesen und den Homomorphiesatz, um eine zu C \ {0}/R+ isomorphe Untergruppe von (C \ {0}, ·) zu finden. 406) Betrachten Sie die Gruppe (C\{0}, ·). Zeigen Sie, dass R\{0} ein Normalteiler von (C\{0}, ·) ist. Zeigen Sie weiters, dass f : C \ {0} → C \ {0}, z 7→ (z/|z|)2 ein Gruppenhomomorphismus ist und verwenden Sie diesen und den Homomorphiesatz, um eine zu C \ {0}/R \ {0} isomorphe Untergruppe von (C \ {0}, ·) zu finden. 407–414) Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind: 404)407) M = {0, 1} mit der Addition modulo 2 und dem Produkt a · b = 0 für alle a, b ∈ M . 405)408) M = {0, 1, 2} mit der Addition modulo 3 und dem Produkt a · b = 1 für alle a, b ∈ M . √ √ 406)409) M = Q[ 5] = {a + b 5 | a, b ∈ Q} mit der Addition und Multiplikation aus R. √ 407)410) Wie 406),409), jedoch M = Q[ 6]. √ 408)411) Wie 406),409), jedoch M = Q[ 7]. √ 409)412) Wie 406),409), jedoch M = Q[ 14]. 410)413) M = {0, 1, 2} mit der Addition modulo 3 und der Multiplikation modulo 4. 411)414) M = {0, 1} mit der Addition 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 1, und der Multiplikation modulo 2. 412)415) Von der Menge K ⊆ C sei bekannt: i) R ⊆ K, ii) 1 + 3i ∈ K und iii) hK, +, ·i ist ein Körper (mit der Addition bzw. Multiplikation aus C). Zeigen Sie, dass K = C sein muss. 413)28 �416) Von der Menge K ⊆ C sei bekannt: i) R ⊆ K, ii) 1 − i ∈ K und iii) hK, +, ·i ist ein Körper (mit der Addition bzw. Multiplikation aus C). Zeigen Sie, dass K = C sein muss. 414)417) Gibt es eine Menge K mit R ( K ( C, die mit der üblichen Addition bzw. Multiplikation einen Körper bildet? (Begründung!) 415)418) Sei hR, +, ·i ein Ring mit Einselement und E(R) die Menge derjenigen Elemente in R, die bezüglich der Multiplikation ein inverses Element besitzen. Zeigen Sie, dass E(R) mit der Multiplikation eine Gruppe bildet (die Einheitengruppe von R). 416)419) Man zeige, dass für eine beliebige Menge M die Algebra hP(M ), ∆, ∩i ein kommutativer Ring mit Einselement ist. Für welche M ist dieser Ring sogar ein Körper? 417)420) Bestimmen Sie die Einheitengruppe (vgl. 415)418) des Restklassenringes Z9 . 418)421) Man bestimme Z∗6 und Z∗3 und überprüfe, ob diese beiden Gruppen isomorph sind. 28 �419–421)422–424) Beweisen Sie, dass die angegebene Identität in einem Ring R für alle a, b ∈ R gilt (−c bezeichnet das additive Inverse zu c): 419)422) (−a)b = −(ab) 420)423) a(−b) = −(ab) 421)424) (−a)(−b) = ab 422)425) Sei hR, +, ·i ein Ring. Man zeige, dass dann auch R × R mit den Operationen (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (a · c, b · d) ein Ring ist. 423)426) Seien hR1 , +1 , ·1 i und hR2 , +2 , ·2 i Ringe. Man zeige, dass dann auch R1 × R2 mit den Ope- rationen (a, b) + (c, d) = (a +1 c, b +2 d) (a, b) · (c, d) = (a ·1 c, b ·2 d) ein Ring ist. 424)427) Sei hR, +, ·i ein Ring, in dem a2 = a für alle a ∈ R gilt. Man zeige, dass dann auch a + a = 0 für alle a ∈ R gilt. (Hinweis: Man betrachte (a + a)2 .) 425)428) Sei hR, +, ·i ein Ring, in dem a2 = a für alle a ∈ R gilt. Man zeige, dass dann R kommutativ ist. (Hinweis: Man betrachte (a + a)2 und (a + b)2 .) 426)429) Sei R ein Ring und Rz die formalen Potenzreihen n≥0 an z n mit Koeffizienten an ∈ R. P Man zeige, dass Rz mit den Operationen n @@ -1500,435 +1513,437 @@ Man zeige, dass Rz mit den Operationen n≥0 n≥0 n≥0 n≥0 n≥0 n≥0 k=0 ein Ring ist. Man zeige weiters, dass Rz ein Integritätsring ist, wenn R ein Integritätsring ist. 427)430) Man ermittle, ob beim Übergang von R zu R × R (Bsp. 422))425)) die folgenden Eigenschaften erhalten bleiben: a) Kommutativität, b) Nullteilerfreiheit, c) Existenz eines Einselementes. 428)431) Betrachten Sie den Ring Rx aus Aufgabe 426).429). I sei die Menge der Elemente n≥0 an z n P von Rx mit a0 = 0. Zeigen Sie: I ist ein Ideal von Rx. 429)29 �432) Seien I1 , I2 zwei Ideale eines Ringes R. Zeigen Sie, dass dann I1 ∩ I2 ein Ideal von R ist. Gilt dies auch für I1 ∪ I2 ? 430)433) Sei hR, +, ·i ein beliebiger T Ring und A ⊆ R. Weiters sei I(A) die Menge aller Ideale von R, die A umfassen. Zeigen Sie: I∈I(A) I ist das kleinste Ideal von R, das A umfasst. 431)434) Seien I1 , I2 zwei Ideale eines Ringes hR, +, ·i. Man zeige, dass dann I1 × I2 ein Ideal von R × R ist. 432)435) Sei ϕ : R1 → R2 ein Ringhomomorphismus und I ein Ideal von R2 . Man zeige, dass ϕ−1 (I) Ideal von R1 ist. 433)436) Man bestimme mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen alle Lösungen von 4̄x2 + 7̄x + 7̄ = 0̄ über dem Körper Z11 . 434)437) Man bestimme mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen alle Lösungen von 3̄x2 + 2̄x + 6̄ = 0̄ über dem Körper Z7 . 29 �435)438) Man bestimme mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen alle Lösungen von 2̄x2 + x + 7̄ = 0̄ über dem Körper Z13 . 436–440)439–443) Ein Polynom heißt irreduzibel, wenn es nicht als Produkt zweier Polynome kleineren Grades darstellbar ist. 436)439) Man untersuche das Polynom x2 + x + 1 auf Irreduzibilität a) über Q, b) über Z3 . 437)440) Man untersuche das Polynom x2 + x + 1 auf Irreduzibilität a) über R, b) über Z5 . 438)441) Man untersuche das Polynom x2 + 3 auf Irreduzibilität a) über Q, b) über Z5 . 439)442) Man untersuche das Polynom x3 + x2 + 5 auf Irreduzibilität a) über Q und b) über Z7 . 440)443) Man untersuche das Polynom x3 − x2 + 1 auf Irreduzibilität a) über Q und b) über Z5 . 441–442)444–445) Man zeige, dass die folgenden algebraischen Strukturen Verbände sind. Welche sind außerdem distributiv, und welche sind Boolesche Algebren? 441)444) a) (R, min, max), b) (N \ {0}, ggT, kgV). 442)445) a) (P(A), ∩, ∪), b) ({X ⊆ N | X ist endlich oder N \ X ist endlich}, ∩, ∪) 443)446) Sei (M, ∧, ∨) eine Boolesche Algebra. Beweisen Sie: a) ∀a ∈ M : a ∨ 1 = 1, a ∧ 0 = 0. b) Falls a ∨ b = 1 und a ∧ b = 0, so folgt b = a′ 444)447) Sei M die Menge aller positiven Teiler von 60. Bestimmen Sie alle Komplemente in (M, ggT, kgV). Ist diese Struktur eine Boolesche Algebra? 445)448) Sei (M, ∧, ∨) ein Verband mit 5 Elementen. Zeigen Sie, dass (M, ∧, ∨) keine Boolesche Algebra ist. Hinweis: Betrachten Sie alle möglichen Hassediagramme der durch den Verband bestimmten Hal- bordnung. 446)449) Sei (M, ∧, ∨) eine Boolesche Algebra. Beweisen Sie: a) (a′ )′ = a, b) (a ∧ b)′ = a′ ∨ b′ und (a ∨ b)′ = a′ ∧ b′ . 447–452) Bildet R2 mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über R? 447) (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , 0), λ(x1 , x2 ) = (λx1 , 0). 448) (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (0, x2 + y2 ), λ(x1 , x2 ) = (0, λx2 ). 449) (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x2 + y1 , x1 + y2 ), λ(x1 , x2 ) = (λx1 , λx2 ). 450) (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y2 , x2 + y1 ), λ(x1 , x2 ) = (λx1 , λx2 ). 451) (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , 0), λ(x1 , x2 ) = (λx1 , x2 ). 452) (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (0, x2 + y2 ), λ(x1 , x2 ) = (x1 , λx2 ). 453–464) Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums R3 über R ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch: 453) W = {(x, y, z) | x = 2y} 454) W = {(x, y, z) | y = −z} 455) W = {(x, y, z) | x + y + z = 0} 456) W = {(x, y, z) | xy = 0} 30 �457) W�450–455) Bildet R2 mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über R? 450) (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = {(x, y, z) | x(x1 + yy1 , 0), λ(x1 , x2 ) = (λx1 , 0). 451) (x1 , x2 ) + z ≤ 0} 458) W(y1 , y2 ) = {(x, y, z) | x(0, x2 + yy2 ), λ(x1 , x2 ) = (0, λx2 ). 452) (x1 , x2 ) + z ≥ 0} 459) W(y1 , y2 ) = {(x, y, z) | x(x2 + yy1 , x1 + z = 0} 460) W = {(x, y, z) | x = 2z} 461) Wy2 ), λ(x1 , x2 ) = {(x, y, z) | x(λx1 , λx2 ). 453) (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = −z} 462) W(x1 + y2 , x2 + y1 ), λ(x1 , x2 ) = {(x, y, z) | xy(λx1 , λx2 ). 454) (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = 0} 463) W(x1 + y1 , 0), λ(x1 , x2 ) = {(x, y, z) |(λx1 , x2 ). 455) (x1 , x2 ) + y 2 = 1} 464) W(y1 , y2 ) = {(x, y, z) |(0, x2 + y 2y2 ), λ(x1 , x2 ) = 0}(x1 , λx2 ). 465–466)456–467) Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums R3 über R ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch: 456) W = {(x, y, z) | x = 2y} 457) W = {(x, y, z) | y = −z} 458) W = {(x, y, z) | x + y + z = 0} 459) W = {(x, y, z) | xy = 0} 460) W = {(x, y, z) | x + y + z ≤ 0} 461) W = {(x, y, z) | x + y + z ≥ 0} 462) W = {(x, y, z) | x + y + z = 0} 463) W = {(x, y, z) | x = 2z} 464) W = {(x, y, z) | x = −z} 465) W = {(x, y, z) | xy = 0} 466) W = {(x, y, z) | x2 + y 2 = 1} 467) W = {(x, y, z) | x2 + y 2 = 0} 468–469) Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V über K ist. 465)468) Sei V der Vektorraum aller Funktionen f : R → R über K = R, W die Menge aller ungeraden Funktionen in V , d. h. aller Funktionen f , für die gilt: f (x) = −f (−x), für alle x ∈ R. 466)469) Sei V Vektorraum aller Funktionen f : R → R über K = R, W die Menge aller geraden Funktionen in V , d. h. aller Funktionen f , für die gilt: f (x) = f (−x), für alle x ∈ R. √ 467)470) Zeigen Sie: Q[ 5] (vgl. Aufgabe 406))409)) bildet mit den in R ausgeführten Operationen Addi- tion und Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über Q. √ 468)471) Zeigen Sie: Q[ 7] (vgl. Aufgabe 406))409)) bildet mit den in R ausgeführten Operationen Addi- tion und Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über Q. 469)472) Zeigen Sie: C bildet mit den in C ausgeführten Operationen Addition und Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über R. 470)473) Zeigen Sie: In jedem Vektorraum V über dem Körper K gilt λ · o = o für alle λ ∈ K und 0 · a = o für alle a ∈ V . 471–473)474–476) Zeigen Sie, dass in jedem Vektorraum V über dem Körper K für alle a ∈ V , λ ∈ K gilt: 471)474) (−λ)a = −(λa) 472)475) λ(−a) = −(λa) 473)476) (−λ)(−a) = λa 474)477) Zeigen Sie: Die Menge aller Polynome a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 vom Grad kleiner gleich 4 mit Koeffizienten ai aus Q bildet mit der üblichen Addition und dem üblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über Q. 475)478) Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes aus 474)477) der die Polynome x und x3 enthält. 476)479) Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes aus 474)477) der die Polynome x − x2 und x + x3 enthält. 477)31 �480) Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes aus 474)477) der die Polynome 2x2 + x − 1, 3x2 − x + 2 und 5x2 − 5x + 8 enthält. 478)481) Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes aus 474)477) der die Polynome 1 + x − x2 , −1 + 5x − 4x2 und 4 − 2x + x2 enthält. 479)482) Zeigen Sie: Die Menge aller Polynome a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 vom Grad kleiner gleich 3 mit Koeffizienten ai aus R bildet mit der üblichen Addition und dem üblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über R. Bestimmen Sie eine Basis dieses Vektorraums, die nur Polynome dritten Grades enthält. 480)483) Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes aus 479)482) der die Polynome x und x2 enthält. 481)484) Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes aus 479)482) der die Polynome 2x2 −x3 , 3x2 − x − 1 und x2 + 3x3 enthält. 31 �482)485) Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes aus 479)482) der die Polynome 2x2 −x3 , 2x2 − 5x + 2 und x2 + 3x3 enthält. 483)486) Zeigen Sie, dass B = {(1, 2, 4), (2, 4, 1), (4, 2, 1)} eine Basis des R3 ist. 484)487) Untersuchen Sie, ob B = {(−1, 4, −4), (2, −4, 7), (3, 2, 1)} eine Basis des R3 ist. 485)488) Untersuchen Sie, ob B = {(0, 7, 4), (−2, 4, −5), (6, 2, −1)} eine Basis des R3 ist. 486)489) Zeigen Sie, dass die Vektoren x1 , x2 , x3 eines Vektorraumes genau dann linear unabhängig sind, wenn x1 + x2 , x2 + x3 , x3 linear unabhängig sind. 487)490) Zeigen Sie, dass die Vektoren x1 , x2 , x3 eines Vektorraumes genau dann linear unabhängig sind, wenn x1 + x2 + x3 , x2 + x3 , x3 linear unabhängig sind. 488)491) Zeigen Sie, dass die Vektoren x1 , x2 , x3 eines Vektorraumes genau dann linear unabhängig sind, wenn x1 − x2 , x2 , x2 − x3 linear unabhängig sind. 489)492) Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des R4 linear unabhängig sind: (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5), (3, 4, 5, 6). 490)493) Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des Z47 linear unabhängig sind: (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5), (3, 4, 5, 6). 491)494) Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des Z411 linear unabhängig sind: (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5), (3, 4, 5, 6). 492)495) Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des R4 linear unabhängig sind: (4, 3, 2, 1), (2, 3, 4, 5), (3, 4, −5, 1). 493)496) Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des R4 linear unabhängig sind: (−1, 3, 2, −1), (2, 2, −1, 1), (3, −1, −2, 2). 494)497) Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des R4 linear unabhängig sind: (−3, 3, 0, −2), (0, 7, −1, 3), (−3, 1, 0, −4). 495)498) Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des Z45 linear unabhängig sind: (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 1), (3, 4, 2, 1). Pn i 496)499) Sei V = i=0 ai x | ai ∈ R, n ∈ N der Vektorraum aller Polynome mit reellen Koeffi- zienten. Untersuchen Sie, ob 1 + x + x3 , 3 − x + x2 und −5 + x + x2 − x3 linear unabhängig sind. 497)500) Wie 496,499, nur für 1 − x + x3 , 3 − x2 + x3 und −5 + 3x + x2 − 4x3 .498) Wie 496, nur für 1 − x − 3x2 , 2 − 2x2 und 3 + 3x − 2x2 . 499) Sei V = {f | f : R → R} der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen. Untersuchen Sie, ob f und g mit f (x) = sin(x) und g(x) = cos(x) linear unabhängig sind. 500) Wie 499, nur für f (x) = sin(x) und g(x) = sin(2x). 501) Wie 499, nur für f (x) = cos(x) und g(x) = cos(2x). 502) Wie 499, nur für f (x) = cos(x) und g(x) = ex . 503) Wie 499, nur für f, g, h mit f (x) = e−x , g(x) = ex und h(x) = xex. 504) Wie 499, nur für f, g, h mit f (x) = ex , g(x) = xex und h(x) = x2 ex . 505) Wie 499, nur für f, g, h mit f (x) = 1, g(x) = ex und h(x) = e3x . 32 �506)�501) Wie 499, nur für 1 − x − 3x2 , 2 − 2x2 und 3 + 3x − 2x2 . 502) Sei V = {f | f : R → R} der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen. Untersuchen Sie, ob f und g mit f (x) = sin(x) und g(x) = cos(x) linear unabhängig sind. 503) Wie 502, nur für f (x) = sin(x) und g(x) = sin(2x). 504) Wie 502, nur für f (x) = cos(x) und g(x) = cos(2x). 505) Wie 502, nur für f (x) = cos(x) und g(x) = ex . 506) Wie 502, nur für f, g, h mit f (x) = e−x , g(x) = ex und h(x) = xex. 507) Wie 502, nur für f, g, h mit f (x) = ex , g(x) = xex und h(x) = x2 ex . 508) Wie 502, nur für f, g, h mit f (x) = 1, g(x) = ex und h(x) = e3x . 509) Sei � � 1 2 A= . 3 −2 Untersuchen Sie, ob die Matrizen I2 , A und A2 im Vektorraum der reellen 2×2-Matrizen linear unabhängig sind. 507)510) Sei � � −1 1 A= . 3 −2 Untersuchen Sie, ob die Matrizen I2 , A und A2 im Vektorraum der reellen 2×2-Matrizen linear unabhängig sind. 508)511) Sei � � � � 1 2 1 1 A= und B = . 3 −1 −2 3 Untersuchen Sie, ob die Matrizen A, B und B 2 im Vektorraum der reellen 2×2-Matrizen linear unabhängig sind. 509)512) Sei � � � � 1 2 1 1 A= und B = . 3 −1 −2 3 Untersuchen Sie, ob die Matrizen A, B und A · B im Vektorraum der reellen 2×2-Matrizen linear unabhängig sind. 510)513) Beweisen Sie, dass jede quadratische Matrix A als Summe einer symmetrischen Matrix B (d.h., B = B T ) und einer schiefsymmetrischen Matrix C (d.h., C = −C T ) geschrieben werden kann. (Hinweis: Wählen Sie B = 21 (A + AT ).) Wie sieht diese Zerlegung konkret für die Matrix 1 −2 2 A = 4 1 1 3 0 5 aus? 511–513)514–516) Untersuchen Sie, ob die angegebene Abbildung A von R3 in R2 eine lineare Abbildung ist. x1 � � x1 � � 7x1 + 5x2 3x1 + 5x2 511)514) Ax2 x2 = 512)515) A x2 = x1 − 2x3 x1 − 3x3 x3 x3 33 � x1 � � 3x1 + 5x2 − x3 513)516) A x2 = −3x2 x3 514)517) Sei V = C3 , U = {(z1 , z2 , z3 ) ∈ V | z1 + z2 = z3 }, W = {(z1 , z2 , z3 ) ∈ V | z2 = −z1 }. Zeigen Sie, dass U und W Teilräume von V sind und bestimmen Sie deren Dimension. 515)518) Sei V = C3 , U = {(z1 , z2 , z3 ) ∈ V | z1 − z2 = z3 }, W = {(z1 , z2 , z3 ) ∈ V | z2 = z1 }. Zeigen Sie, dass U und W Teilräume von V sind und bestimmen Sie deren Dimension. 516)519) Sei V = C3 , U = {(z1 , z2 , z3 ) ∈ V | z1 = 2z2 = 3z3 }, W = {(z1 , z2 , z3 ) ∈ V | z2 = 0}. Zeigen Sie, dass U und W Teilräume von V sind und bestimmen Sie deren Dimension. 33 � � � � � � � 1 2 1 517)520) Sei f : R2 → R2 die lineare Abbildung mit f = f = . Bestimmen 0 3 −2 2 Sie ker(f ) und f (R ) sowie dim(ker(f )) und den Rang von f . Verifizieren Sie die Beziehung dim(ker(f )) + rg(f ) = dim R2 und bestimmen Sie die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis. � � � � � � 0 3 1 518)521) Sei f : R2 → R2 die lineare Abbildung mit f = f = . Bestimmen 1 2 −1 2 Sie ker(f ) und f (R2(R ) sowie dim(ker(f )) und den Rang von f . Verifizieren Sie die Beziehung dim(ker(f )) + rg(f ) = dim R2 und bestimmen Sie die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis. � � � � � � � � 1 1 2 0 519)522) Sei f : R2 → R2 die lineare Abbildung mit f = ,f = . Bestimmen 1 0 1 1 2 Sie ker(f ) und f (R ) sowie dim(ker(f )) und den Rang von f . Verifizieren Sie die Beziehung dim(ker(f )) + rg(f ) = dim R2 und bestimmen Sie die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis. 520)523) Ein Produzent verarbeite die Rohstoffe R1 , R2 , R3 . Der Verbrauch der Rohstoffe während vier Wochen eines Monats sei wie folgt gegeben: Woche / Rohstoff R1 R2 R3 1. Woche 8 4 12 2. Woche 10 6 5 3. Woche 7 8 5 4. Woche 11 7 9 Diese Rohstoffe sollen bei einem von zwei Lieferanten L1 , L2 bezogen werden, wobei die Rohstoff- preise in nachstehender Tabelle angegeben sind: Rohstoff / Lieferant L1 L2 R1 8 4 R2 10 6 R3 7 8 Man beschreibe die Rohstoffkosten mit Hilfe von geeigneten linearen Abbildungen und vergleiche sie für alle vier Wochen. Soll der Produzent beim Lieferanten L1 oder L2 bestellen? 521)524) Drei Produkte P1 , P2 , P3 werden aus Rohstoffen R1 und R2 hergestellt. Die Herstellungs- kosten setzen sich aus den Rohstoffpreisen und den Arbeitskosten zusammen. Die benötigten Resourcen sind in der folgenden Tabelle gegeben. 34 � Rohstoff/Produkt P1 P2 P3 R1 1 2 3 R2 2 3 1 Arbeit 7 8 3 Wie hoch sind die Kosten für R1 , R2 und Arbeit, wenn die Herstellungskosten der Produkte P1 , P2 bzw. P3 EUR 27,– , EUR 17,– bzw. EUR 21,– betragen? Beschreiben Sie diesen Zusammenhang mit Hilfe geeigneter linearer Abbildungen. 522)525) Sei G die Menge aller regulären n×n-Matrizen A über R. Man zeige, dass hG, ·i eine Gruppe bildet. 523)526) Sei U die Menge aller n × n-Matrizen B über R mit det B = ±1. Man zeige, dass U Normalteiler von G (aus Bsp. 522)525) ist. 34 �524)527) Sei G die Menge aller n × n-Matrizen A über R mit det A > 0. Man zeige, dass hG, ·i eine Gruppe bildet. 525)528) Sei U die Menge aller n×n-Matrizen B über R mit det B = 1. Man zeige, dass U Normalteiler von G (aus Bsp. 524)527) ist. 526)529) Sei G die Menge aller n × n-Matrizen A über R mit det A ∈ Q \ {0}. Man zeige, dass hG, ·i eine Gruppe bildet. 527)530) Sei V = Rn [x] der Vektorraum der Polynome in x vom Grad ≤ n mit Koeffizienten aus R. Sei weiters eine Abbildung D definiert durch n X n X D( ak x k ) = kak xk−1 . k=0 k=1 Untersuchen Sie, ob D eine lineare Abbildung ist. Untersuchen Sie D weiters auf Injektivität und Surjektivität. 528) Wie 527) für die Abbildung E(p(x)) = p(x + 1). 529) Wie 527) für die Abbildung F (p(x)) = p(x + 1) − p(x). 530) Bestimmen Sie die Matrix der linearen Abbildung D aus Aufgabe 527) bezüglich der Basis B = {x0 , x1 , . . . , xn } von V . 531) Wie 530) für die Abbildung E(p(x)) = p(x + 1). 532) Wie 530) für die Abbildung F (p(x)) = p(x + 1) − p(x). 533) Bestimmen Sie die Matrix der linearen Abbildung D aus Aufgabe 530) bezüglich der Basis B = {x0 , x1 , . . . , xn } von V . 534) Wie 533) für die Abbildung E(p(x)) = p(x + 1). 535) Wie 533) für die Abbildung F (p(x)) = p(x + 1) − p(x). 536) Sei V = R[x] der Vektorraum der Polynome in x mit Koeffizienten aus R. Sei weiters eine Abbildung I definiert durch n n X X xk+1 I( ak x k ) = ak . k+1 k=0 k=0 Untersuchen Sie, ob I eine lineare Abbildung ist. Ist diese Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv? 534)537) Wie 533)536) für die Abbildung S(p(x)) = p(x − 1). 535)35 �538) Sei V = Rn [x] der Vektorraum der Polynome in x vom Grad ≤ n mit Koeffizienten aus R. Sei weiters eine Abbildung A definiert durch n X n X A( ak x k ) = k(k − 1)ak xk−2 . k=0 k=2 Zeigen sie, dass A linear ist und bestimmen Sie die Matrix von A bezüglich der Basis B = {x0 , x1 , . . . , xn } von V . 536)539) Untersuchen Sie die Lösbarkeit des folgenden Gleichungssystems und berechnen Sie gegebe- nenfalls mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens alle Lösungen: x1 +2x2 −x3 +x4 = 2 3x1 +x2 −2x3 +4x4 = 2 −x1 +4x2 +3x3 −3x4 = 2 2x1 +4x2 +x4 = 1 35 �537–541)540–544) Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungs- systems über dem Körper K: 537)540) a) K = R, b) Wie a), jedoch K = Z2 . 3x1 + x2 − 2x3 + x4 = 2 x1 + x2 − x3 − x4 = 1 5x1 + x2 − 3x3 + 3x4 = 1 538)541) a) K = R, b) Wie a), jedoch K = Z2 . −3x1 + x2 + 2x3 + x4 = 2 −x1 + x2 + x3 − x4 = 1 −5x1 + x2 + 3x3 + 3x4 = 1 539)542) a) K = R, b) Wie a), jedoch K = Z3 . 2x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1 + x3 − 2x4 = 1 7x1 + x3 + x4 = 7 540)543) a) K = Q, b) Wie a), jedoch K = Z3 . 2x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x3 = 1 4x1 + x3 = 4 541)544) a) K = Q, b) Wie a), jedoch K = Z11 . 2x1 + 5x2 − 2x3 = 5 3x1 + x3 = 4 − x2 + 2x3 = 1 542)36 �545) Wir betrachten Systeme von drei Ebenengleichungen fi (x, y, z) = ai1 x + ai2 y + ai3 z = bi mit Lösungsmengen Li ⊆R3 , i = 1, 2, 3. Geben Sie jeweils eine Systemmatrix a11 a12 a13 b1 a21 a22 a23 b2 a31 a32 a33 b3 mit geeigneten aij und bi aus R so an, dass die Li folgende Lage zueinander haben: (a) L1 ∩ L2 ∩ L3 = {(1, 1, 1)}. (b) L1 ∩ L2 ∩ L3 = ∅, und alle drei Schnitte L1 ∩ L2 , L1 ∩ L3 und L2 ∩ L3 sind eindimensional und parallel zur z-Achse. 543)546) Wie 542,545, aber mit (a) L1 ∩ L2 = L1 ∩ L3 = L2 ∩ L3 ist die z-Achse. (b) L1 ∩ L2 = ∅ und L1 ∩ L3 6= ∅ = 6 L2 ∩ L3 . 36 �544–553)547–556) Bestimmen Sie den Rang der folgenden reellen Matrizen 544)547) 545)548) 1 2 3 4 5 −2 1 3 −4 5 2 3 4 5 6 −4 3 5 −6 7 3 4 5 6 7 5 −4 −6 7 −8 4 5 6 7 8 3 2 −4 5 −6 546)549) 547)550) 3 0 3 −1 5 1 −4 1 −2 3 5 −2 1 −1 1 1 1 5 2 3 −4 −6 2 4 5 6 7 1 6 3 −4 5 7 7 1 −2 3 8 1 7 −4 5 −6 −8 548)551) 549)552) 1 0 3 −1 5 1 −2 3 −4 5 2 3 4 5 6 −2 3 −4 5 −6 3 4 5 6 7 3 −4 5 −6 7 4 5 6 7 8 −4 5 −6 7 −8 550) 551)553) 554) 1 −2 3 −4 5 6 1 −2 3 −4 5 6 −2 3 −4 5 −6 −7 −2 3 −4 5 −6 7 3 −4 5 −6 7 8 3 −4 5 −6 7 8 −4 5 −6 7 −8 −9 −4 5 −6 7 −8 9 552) 553)555) 556) 0 −1 −1 −3 0 0 −3 −2 3 −4 0 6 −2 1 −4 5 −6 −1 −2 3 −4 −2 −6 2 3 −1 3 −6 2 1 3 −4 0 1 −3 3 −4 1 −2 7 −3 −1 −5 1 −1 0 −3 0 554)37 �557) Sei n ≥ 1. Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix über R: 2 5 8 . . . 3n − 1 5 8 11 . . . 3n + 2 . .. .. .. .. . .. . . . . . 3n − 1 3n + 2 3n + 5 . . . 6n − 4 555)558) Sei n ≥ 1. Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix über R: 2 6 10 . . . 4n − 2 6 10 14 . . . 4n + 2 @@ -1941,125 +1956,125 @@ mit geeigneten aij und bi aus R so an, dass die Li folgende Lage zueinander habe 4n − 2 4n + 2 4n + 6 . . . 8n − 6 559–562) Bestimmen Sie die inverse Matrix A−1 . 559) 560) −1 3 2 1 3 2 A = −2 4 6 . A= 2 4 6 . 1 −2 2 −1 −2 2 561) 562) 2 4 6 −1 −2 2 A= 1 3 2 . A = −1 −3 2 . −1 −2 2 2 4 6 37 �556–559) Bestimmen Sie die inverse Matrix A−1 . 556) 557) −1 3 2 1 3 2 A = −2 4 6 . A= 2 4 6 . 1 −2 2 −1 −2 2 558) 559) 2 4 6 −1 −2 2 A= 1 3 2 . A= −1 −3 2 . −1 −2 2 2 4 6 560)563) Berechnen Sie zur folgenden Matrix A mit Einträgen aus R die Matrix A3 : 0 0 0 A= a 0 0 . b c 0 561)564) Berechnen Sie zur folgenden Matrix A mit Einträgen aus R die Matrix A3 : 0 a b A= 0 0 c . 0 0 0 562)565) Für die Matrizen A, B mit −1 3 2 −1 3 2 A = −2 4 6 , B=B = 2 −4 6 1 −2 2 1 −2 2 bestimme man C = AB und verifiziere den Determinantensatz det C = det A · det B. 563) Für die Matrizen A, B mit 1 3 2 −1 3 2 A= 2 4 6 , B = 2 −4 6 −1 −2 2 1 −2 2 bestimme man C = AB und verifiziere den Determinantensatz det C = det A · det B. 564) Man berechne 565) Man berechne 2 4 −1 3 1 3 −1 5 1 2 0 −1 2 7 0 2 . . 1 2 7 4 −1 −2 4 0 4 9 6 6 1 2 −5 −3 566) Man berechne 567) Man berechne 038 �566) Für die Matrizen A, B mit 1 37 1 2 −1 34 1 1 −6 −8 2 3 4 5 . . 3 1 −2 5 3A= 2 45 6 1, B = 2 −47 12 4 5 6 7 −1 −2 2 1 −2 2 bestimme man C = AB und verifiziere den Determinantensatz det C = det A · det B. 567) Man berechne 568) Man berechne 38 �568)2 4 −1 3 1 3 −1 5 1 2 0 −1 2 7 0 2 . . 1 2 7 4 −1 −2 4 0 4 9 6 6 1 2 −5 −3 569) Man berechne 570) Man berechne 0 1 3 7 1 2 3 4 1 1 −6 −8 2 3 4 5 . . 3 1 −2 5 3 4 5 6 1 −4 7 12 4 5 6 7 571) Berechnen Sie die Determinante aus Aufgabe 564567 mit Hilfe des Entwicklungssatzes von Laplace. 569)572) Berechnen Sie die Determinante aus Aufgabe 565568 mit Hilfe des Entwicklungssatzes von Laplace. 570)573) Berechnen Sie die Determinante aus Aufgabe 566569 mit Hilfe des Entwicklungssatzes von Laplace. 571)574) Berechnen Sie die Determinante aus Aufgabe 567570 mit Hilfe des Entwicklungssatzes von Laplace. 572)575) Sei −2 4 0 A=A = 5 −1 7 . 2 0 3 Man zeige, dass A nichtsingulär ist und berechne A−1 . Schließlich ermittle man AA−1 sowie A−1 A. 573–576)576–579) Für welche x ∈ Q ist die Matrix A singulär? Bestimmen Sie für den angegebenen Wert von x die inverse Matrix A−1 . x 2 2 3 x 1 573)576) A = 1 1 x , x = 1. 574)577) A = 0 1 x , x = −1. 1 x −1 x −1 0 3 3 −2 3 x −1 575)578) A = 1 1 x , x = 2. 576) 579) A = 0 10 4x , x = −2 1 x −1 3x 4 0 577–578)580–581) Über welchem Körper Zp (p Primzahl) ist die Matrix A singulär? Wählen Sie ein p aus, für das die Matrix regulär ist und bestimmen Sie für dieses p die inverse Matrix A−1 . 6 3 7 2 2 0 577) A = 8 5 9 578) A = 4 1 1 9 3 10 0 1 2 579–586)39 � 6 3 7 2 2 0 580) A = 8 5 9 581) A = 4 1 1 9 3 10 0 1 2 582–589) Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A sowie zu jedem Eigenwert alle Eigenvekto- ren: � � � � 3 −1 1 −1 579)582) A = 580)583) A= −1 3 −1 1 0 12 21 5 −8 10 581)584) A = 12 0 21 0 12 582) A =585) A= −8 11 2 1 1 2 2 0 10 2 2 6 8 12 6 4 4 583)586) A = −4 −6 −12 584) A=587) A = −6 −5 −8 1 2 5 3 4 7 2 −1 0 0 −1 −8 1 1 4 0 0 585)588) A = 2 7 −4 586)589) A = 0 0 −1 −8 0 0 3 0 0 2 7 39 �587)590) Gegeben sei die lineare Funktion f : R2 → R2 mit (2, 1) 7→ (−2, 4) und (−3, 0) 7→ (0, −6). (a) Geben Sie eine geometrische Interpretation von f . @@ -2070,7 +2085,7 @@ ren: (d) Geben Sie sämtliche Eigenwerte mit zugehörigen Eigenvektoren von f an (anschauliche Begründung genügt). 588)591) (a) Für welche i ∈ {1, 2, 3} gibt es eine lineare Abbildung fi : R2 → R3 mit folgenden Eigen- schaften? @@ -2088,40 +2103,37 @@ ren: (d) Besitzt B einen Eigenvektor zum Eigenwert 0? 589) Für die Vektoren x = (1, 2, 3), y = (3, −1, 2) und z = (2, 2, 1) berechne man 40 �592) Für die Vektoren x = (1, 2, 3), y = (3, −1, 2) und z = (2, 2, 1) berechne man (a) die Längen von x, y und z, (b) den Winkel ϕ zwischen x und y, (c) das Volumen des von x, y und z aufgespannten Parallelepipeds. 590)593) Wie 589592 für die Vektoren x = (2, 1, 1), y = (3, −1, −2) und z = (1, 2, 1). 591)594) Wie 589592 für die Vektoren x = (−1, 1, 0), y = (3, 5, −7) und z = (6, 6, 1). 592)595) Im R3 sei ein verallgemeinertes Skalarprodukt gegeben durch die Matrix 13 0 −5 G= G= 0 9 −6 −5 −6 6 Berechnen Sie für die Vektoren x = (1, 2, 3) und y = (3, −1, 2) (a) die Längen von x und y, (b) den Winkel ϕ zwischen x und y. 596) Wie 595, nur mit 6 5 −5 G= 5 10 −15 −5 −15 25 40 �593)597) Wie 592, nur mit 6 5 −5 G= 5 10 −15 −5 −15 25 594) Wie 592,595, nur mit x = (−1, 0, 1) und y = (2, −1, 2) 595)598) (a) Berechnen Sie das Skalarprodukt ha, bi der beiden ebenen Vektoren a = (3, 2) und b = (1, 2) und berechnen Sie den Winkel zwischen a und b. @@ -2140,79 +2152,82 @@ Berechnen Sie für die Vektoren x = (1, 2, 3) und y = (3, −1, 2) (d) Geben Sie eine Basis B, bestehend aus Vektoren c1 , . . . , cd ∈ R3 , von U in (c) an, wenn a = (1, 2, 3) und b = (2, 3, 4). 596)599) Bestimmen Sie einen Wert a ∈ Z, sodass die quadratische Form 3x2 + axy + 2xz + 2y 2 + 2yz + 2z 2 positiv definit ist. 597)600) Aus der Basis B = {(2, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)} des R3 soll mittels Orthogonalisierungsver- fahren von Gram-Schmidt eine Orthonormalbasis gebildet werden (wobei das gewöhnliche innere Produkt zugrunde zu legen ist). 598)41 �601) Man zeige, dass die Menge C = {000, 213, 022, 231} eine Untergruppe von hZ34 , +i bildet und bestimme die Nebenklassen von C. 599)602) Zu den Nebenklassen aus Bsp. 598)601) sollen die Nebenklassenanführer mit minimalem Ge- wicht, sowie für eine Auswahl von Anführern ein zugehöriges Korrekturschema K(C) aufgestellt werden, das jedem Wort in Z34 ein entsprechendes Wort aus C zuordnet. 600)603) Man zeige, dass die Menge C = {000, 111, 222, 333} eine Untergruppe von hZ34 , +i bildet und bestimme die Nebenklassen von C. 601)604) Zu den Nebenklassen aus Bsp. 600)603) sollen die Nebenklassenanführer mit minimalem Ge- wicht, sowie für eine Auswahl von Anführern ein zugehöriges Korrekturschema K(C) aufgestellt werden, das jedem Wort in Z34 ein entsprechendes Wort aus C zuordnet. 602)605) Sei C = {00000, 10010, 01001, 00111, 11011, 10101, 01110, 11100}. Man zeige, dass C ein Un- tergruppe von hZ52 , +i bildet und bestimme die Nebenklassen von C. 603)606) Zu den Nebenklassen aus Bsp. 602)605) sollen die Nebenklassenanführer mit minimalem Ge- wicht, sowie für eine Auswahl von Anführern ein zugehöriges Korrekturschema K(C) aufgestellt werden, das jedem Wort in Z52 ein entsprechendes Wort aus C zuordnet. 41 �604)607) Ein (n, k)-Linearcode über Z2 ist durch die Kontrollmatrix H gegeben. Gesucht ist n, k, sowie die Menge C aller Codewörter. 0 1 0 0 1 H = 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 605)608) Für den Code aus Bsp. 604)607) sollen zu allen Wörtern vom Gewicht 1 und 2 die Syndrome berechnet werden. Man wähle anschließend zu jedem Syndrom einen Nebenklassenanführer mit minimalem Gewicht aus und stelle ein entsprechendes Korrekturschema K(C) auf. 606)609) Ein (n, k)-Linearcode über Z2 ist durch die Kontrollmatrix H gegeben. Gesucht ist n, k, sowie die Menge C aller Codewörter. 0 0 1 0 1 0 H= 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 607)610) Für den Code aus Bsp. 606)609) sollen zu allen Wörtern vom Gewicht 1 und 2 die Syndrome berechnet werden. Man wähle anschließend zu jedem Syndrom einen Nebenklassenanführer mit minimalem Gewicht aus und stelle ein entsprechendes Korrekturschema K(C) auf. 608)611) Ein (n, k)-Linearcode über Z2 ist durch die Kontrollmatrix H gegeben. Gesucht ist n, k, sowie die Menge C aller Codewörter. 0 0 1 0 1 H = 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 609)612) Für den Code aus Bsp. 608)611) sollen zu allen Wörtern vom Gewicht 1 und 2 die Syndrome berechnet werden. Man wähle anschließend zu jedem Syndrom einen Nebenklassenanführer mit minimalem Gewicht aus und stelle ein entsprechendes Korrekturschema K(C) auf. 610–611)42 �613–614) Es sei ein (n, k)-Linearcode durch die Generatormatrix G gegeben. Man bestimme n, k, sowie eine Kontrollmatrix H, die möglichst viele Nullen enthält. 610)613) 611)614) 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 G= 0 1 1 1 1 0 G= 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 612)615) Gibt es einen zyklischen Linearcode über Z2 , der das Wort w = 001111 enthält? 613)616) Gibt es einen zyklischen Linearcode über Z2 , der das Wort w = 00011101 enthält? 614)617) p(x) = x3 + 2 ist erzeugendes Polynom eines zyklischen (9, 6)-Linearcodes über Z3 . Man bestimme eine Generatormatrix dieses Codes, die systematisch kodiert. 615)618) p(x) = x3 + 2x2 + x + 2 ist erzeugendes Polynom eines zyklischen (8, 5)-Linearcodes über Z3 . Man bestimme eine Generatormatrix dieses Codes, die systematisch kodiert. 616)619) Man bestimme das Kontrollpolynom h(x) des Codes aus Bsp. 614)617) und untersuche, ob jedes Fehlerwort vom Gewicht 1 als Nebenklassenanführer genommen werden kann. 617)620) Man bestimme das Kontrollpolynom h(x) des Codes aus Bsp. 615)618) und untersuche, ob jedes Fehlerwort vom Gewicht 1 als Nebenklassenanführer genommen werden kann. 42 �43 ��