TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungstest1 2018W (Gittenberger)

1) Man rechnet leicht nach, dass die folgenden Gleichungen stimmen:

$${\begin{aligned}{\frac {1}{1\cdot 3}}&={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1\cdot (3\cdot 1+5)}{3\cdot 2}}\\{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 4}}&={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {2\cdot (3\cdot 2+5)}{4\cdot 3}}\\{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1}{3\cdot 5}}&={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {3\cdot (3\cdot 3+5)}{5\cdot 4}}\\{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1}{3\cdot 5}}+{\frac {1}{4\cdot 6}}&={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {4\cdot (3\cdot 4+5)}{6\cdot 5}}\\\end{aligned}}$$

Stellen Sie eine dazu passende Vermutung auf und beweisen Sie diese mit vollständiger Induktion. Alle Schritte des Induktionsbeweises sind genau anzugeben! Insbesondere muss an jeder Stelle des Beweises klar erkennbar sein, was die Annahmen und was die Folgerungen aus diesen Annahmen sind.

2) Bestimme Sie alle ganzzahligen Lösungen der Kongruenz ${\textstyle 20x\equiv 28\mod 36}$ oder beweisen Sie ihre Unlösbarkeit.

3) Seien ${\textstyle z=\left[r,\phi \right]}$ und ${\textstyle w=\left[s,\psi \right]}$ zwei komplexe Zahlen in Polarkoordinatendarstellung.

• Wie lautet die Darstellung von $z$ in kartesischen Koordinaten?
• Wie lauten die Polarkoordinatendarstellungen von ${\textstyle zw}$, ${\textstyle {\frac {1}{\left\vert zw\right\vert }}}$ und ${\textstyle {\overline {z}}}$?
• Wieviele Lösungen hat die Gleichung ${\textstyle (x+i)^{5}=z}$? Beschreiben Sie die Lage dieser Lösungen in der Gaußschen Zahlenebene.