TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungstest2 2011W

1. Man bestimme die Möglichkeiten, bei einem Test mit 5 Fragen zu je 5 Antworten (jeweils 1 richtig, 4 falsch), genau 3 Fragen richtig zu beantworten.

Lösung: 160

ergibt sich aus:

• a) 3 aus 5 richtigen Antworten ${\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}}$ --> Auswahl/Kombination ohne Wh
• b) und $4^{5-3}$ --> 4 weils je 4 falsche Antworten gibt und 5 (Gesamtfragen) - 3 (richtig beantwortete Fragen) - Variation mit Wh

Alternativ: ${\binom {4}{1}}^{2}$

Gesamt also = 10 * 16 = 160

2. Man ermittle mittels des Inklusions-Exklusions-Prinzips alle Zahlen n ( n $1\leq n\leq 100$ ) die weder durch 2,5 noch 7 teilbar sind.

Lösung: 34

ergibt sich auch:

->*G = |{1,2,...,100}| = 100

->G₂ = G/2 = 50 --> durch 2 teilbare Zahlen

->G₅ = G/5 = 20 --> durch 5 teilbare Zahlen

->G₇ = G/7 = 14 --> durch 7 teilbare Zahlen

->G_2,5 = G/10 = 10 --> durch 2 und 5 teilbare Zahlen

->G_2,7 = G/14 = 7 --> durch 2 und 7 teilbare Zahlen

->G_5,7 = G/35 = 2 --> durch 5 und 7 teilbare Zahlen

->G_2,5,7 = G/70 = 1 --> durch 2,5 und 7 teilbare Zahlen

Zahlen weder durch 2,5 und 7 teilbar = G - (G₂+G₅+G₇ - (G_2,5+G_2,7+G₅₊₇) + G_2,5,7)

= 100 - (50+20+14 - (10+7+2) + 1) = 100 - 66 = 34

3. Man ermittle die allgemeine Lösung der Differenzengleichung

$x_{n-2}-3x_{n-1}+2x_{n}=2$ $n\geq 2$

Lösung:

$x_{n}=c_{1}+c_{2}\cdot 2^{-n}+2n$

Lösungsweg: Die Differenzengleichung ist zweiter Ordnung und inhomogen. Aufgrund der Inhomogenität muss man die allgemeine partikulare Lösung berechnen sowie eine partiukuläre Lösung. Der homogene Lösung kann mittels der charakteristischen Gleichung gelöst werden. Auf die partikuläre Lösung kommt man mittels dem Ansatz "An" (Superpositionsprinzip).