TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungstest2 2018W (Gittenberger)

1) Gegeben seien zwei Gruppen ${\textstyle \left(G,\cdot \right)}$und ${\textstyle \left(H,*\right)}$und ein Gruppenhomomorphismus ${\textstyle \phi :G\rightarrow H}$.

• Zeigen Sie, dass ${\textstyle \ker(\phi )}$ eine Untergruppe von ${\textstyle G}$ ist.
• Zeigen Sie weiters, dass ${\textstyle \ker(\phi )}$ ein Normalteiler von ${\textstyle G}$ ist.

2) Berechnen Sie die Anzahl aller Wörter der Länge 7, die über dem Alphabet ${\textstyle \{a,b,c,d\}}$ gebildet werden können und mindestens 5 mal den Buchstaben ${\textstyle b}$ enthalten. Begründen Sie Ihre Lösung so, dass Ihr Lösungsweg nachvollziehbar ist!

3) Was ist eine Relation auf einer Menge ${\textstyle M\times N}$?

Unter welcher zusätzlichen Bedingung wird so eine Relation sogar als Funktion bezeichnet?

Wann heißt ${\textstyle f:M\rightarrow N}$ injektiv, wann surjektiv?

Geben Sie ein Beispiel einer injektiven Funktion für den Fall ${\textstyle M=\mathbb {Z} _{3}}$ und ${\textstyle N=\mathbb {Z} _{7}}$.