TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungstest2 2018W (Gittenberger)

1) Gegeben seien zwei Gruppen $(G,\cdot )$und $(H,\ast )$und ein Gruppenhomomorphismus $\varphi :G\to H$.

• Zeigen Sie, dass $\ker (\varphi )$ eine Untergruppe von $G$ ist.
• Zeigen Sie weiters, dass $\ker (\varphi )$ ein Normalteiler von $G$ ist.

2) Berechnen Sie die Anzahl aller Wörter der Länge 7, die über dem Alphabet $\{a,b,c,d\}$ gebildet werden können und mindestens 5 mal den Buchstaben $b$ enthalten. Begründen Sie Ihre Lösung so, dass Ihr Lösungsweg nachvollziehbar ist!

3) Was ist eine Relation auf einer Menge $M\times N$?

Unter welcher zusätzlichen Bedingung wird so eine Relation sogar als Funktion bezeichnet?

Wann heißt $f:M\to N$ injektiv, wann surjektiv?

Geben Sie ein Beispiel einer injektiven Funktion für den Fall $M={\mathbb{Z}}_3$ und $N={\mathbb{Z}}_7$.