1) Bestimmen Sie unter Verwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens alle Lösungen (über
) des Gleichungssystems
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&&&&+\quad &3x_{3}&-&\quad x_{4}&&=&\quad 4,&\\2x_{1}&&+\quad &2x_{2}&+\quad &6x_{3}&-&\quad x_{4}&&=&\quad 8,&\\-x_{1}&&+\quad &4x_{2}&-\quad &3x_{3}&+&\quad 3x_{4}&&=&\quad -4.&\\\end{aligned}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=df7de815b5d897449305da11f39dbacf&mode=mathml)
2) Die lineare Abbildung
sei durch
![{\displaystyle f{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}},\quad \quad f{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=488c8bdfaa2af801f8813b84addf6cdb&mode=mathml)
gegeben. Bestimmen Sie die Dimension des Kerns von
![{\textstyle f}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4598cb61e812b814e0b4675f66418b56&mode=mathml)
, den Rang von
![{\textstyle f}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4598cb61e812b814e0b4675f66418b56&mode=mathml)
, und geben Sie eine Basis von
![{\textstyle \ker(f)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=46b062902bfe1bc00a1951fce603847f&mode=mathml)
und eine Basis von
![{\textstyle f(\mathbb {R} ^{2})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2d955f797c4e985099526b85d150f6ba&mode=mathml)
an.
3) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix
, sowie zu jedem Eigenwert alle Eigenvektoren.