TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungstest3 2018W (Gittenberger)

1) Bestimmen Sie unter Verwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens alle Lösungen (über $\mathbb {R}$) des Gleichungssystems

$${\begin{aligned}x_{1}&&&&+\quad &3x_{3}&-&\quad x_{4}&&=&\quad 4,&\\2x_{1}&&+\quad &2x_{2}&+\quad &6x_{3}&-&\quad x_{4}&&=&\quad 8,&\\-x_{1}&&+\quad &4x_{2}&-\quad &3x_{3}&+&\quad 3x_{4}&&=&\quad -4.&\\\end{aligned}}$$

2) Die lineare Abbildung ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ sei durch

$$f{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}},\quad \quad f{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}}$$

gegeben. Bestimmen Sie die Dimension des Kerns von ${\textstyle f}$, den Rang von ${\textstyle f}$, und geben Sie eine Basis von ${\textstyle \ker(f)}$ und eine Basis von ${\textstyle f(\mathbb {R} ^{2})}$ an.

3) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix $A={\begin{pmatrix}1&-2\\1&4\end{pmatrix}}$, sowie zu jedem Eigenwert alle Eigenvektoren.