TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungstests Gittenberger

WS2018

1. Übungstest

1) Man rechnet leicht nach, dass die folgenden Gleichungen stimmen:

$${\begin{aligned}{\frac {1}{1\cdot 3}}&={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1\cdot (3\cdot 1+5)}{3\cdot 2}}\\{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 4}}&={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {2\cdot (3\cdot 2+5)}{4\cdot 3}}\\{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1}{3\cdot 5}}&={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {3\cdot (3\cdot 3+5)}{5\cdot 4}}\\{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1}{3\cdot 5}}+{\frac {1}{4\cdot 6}}&={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {4\cdot (3\cdot 4+5)}{6\cdot 5}}\\\end{aligned}}$$

Stellen Sie eine dazu passende Vermutung auf und beweisen Sie diese mit vollständiger Induktion. Alle Schritte des Induktionsbeweises sind genau anzugeben! Insbesondere muss an jeder Stelle des Beweises klar erkennbar sein, was die Annahmen und was die Folgerungen aus diesen Annahmen sind.

2) Bestimme Sie alle ganzzahligen Lösungen der Kongruenz ${\textstyle 20x\equiv 28\mod 36}$ oder beweisen Sie ihre Unlösbarkeit.

3) Seien ${\textstyle z=\left[r,\phi \right]}$ und ${\textstyle w=\left[s,\psi \right]}$ zwei komplexe Zahlen in Polarkoordinatendarstellung.

• Wie lautet die Darstellung von $z$ in kartesischen Koordinaten?
• Wie lauten die Polarkoordinatendarstellungen von ${\textstyle zw}$, ${\textstyle {\frac {1}{\left\vert zw\right\vert }}}$ und ${\textstyle {\overline {z}}}$?
• Wieviele Lösungen hat die Gleichung ${\textstyle (x+i)^{5}=z}$? Beschreiben Sie die Lage dieser Lösungen in der Gaußschen Zahlenebene.

2. Übungstest

1) Gegeben seien zwei Gruppen ${\textstyle \left(G,\cdot \right)}$und ${\textstyle \left(H,*\right)}$und ein Gruppenhomomorphismus ${\textstyle \phi :G\rightarrow H}$.

• Zeigen Sie, dass ${\textstyle \ker(\phi )}$ eine Untergruppe von ${\textstyle G}$ ist.
• Zeigen Sie weiters, dass ${\textstyle \ker(\phi )}$ ein Normalteiler von ${\textstyle G}$ ist.

2) Berechnen Sie die Anzahl aller Wörter der Länge 7, die über dem Alphabet ${\textstyle \{a,b,c,d\}}$ gebildet werden können und mindestens 5 mal den Buchstaben ${\textstyle b}$ enthalten. Begründen Sie Ihre Lösung so, dass Ihr Lösungsweg nachvollziehbar ist!

3) Was ist eine Relation auf einer Menge ${\textstyle M\times N}$?

Unter welcher zusätzlichen Bedingung wird so eine Relation sogar als Funktion bezeichnet?

Wann heißt ${\textstyle f:M\rightarrow N}$ injektiv, wann surjektiv?

Geben Sie ein Beispiel einer injektiven Funktion für den Fall ${\textstyle M=\mathbb {Z} _{3}}$ und ${\textstyle N=\mathbb {Z} _{7}}$.

3. Übungstest

1) Bestimmen Sie unter Verwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens alle Lösungen (über $\mathbb {R}$) des Gleichungssystems

$${\begin{aligned}x_{1}&&&&+\quad &3x_{3}&-&\quad x_{4}&&=&\quad 4,&\\2x_{1}&&+\quad &2x_{2}&+\quad &6x_{3}&-&\quad x_{4}&&=&\quad 8,&\\-x_{1}&&+\quad &4x_{2}&-\quad &3x_{3}&+&\quad 3x_{4}&&=&\quad -4.&\\\end{aligned}}$$

2) Die lineare Abbildung ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ sei durch

$$f{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}},\quad \quad f{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}}$$

gegeben. Bestimmen Sie die Dimension des Kerns von ${\textstyle f}$, den Rang von ${\textstyle f}$, und geben Sie eine Basis von ${\textstyle \ker(f)}$ und eine Basis von ${\textstyle f(\mathbb {R} ^{2})}$ an.

3) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix $A={\begin{pmatrix}1&-2\\1&4\end{pmatrix}}$, sowie zu jedem Eigenwert alle Eigenvektoren.