TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VO (Dorfer)/Prüfung 2020-09-11

1) Theorie Graphen

1.1) Graph K6
   1.1.1) ist planar
   1.1.2) ist eulerisch
   1.1.3) ist hameltonisch
   1.1.4) ist ?
1.2) ?
   1.2.1) ist zusammenhängend oder schwach zusammenhängend
   1.2.2) ist stark zusammenhängend
   1.2.3) ist ?
   1.2.4) ist ?
1.3) ?
1.4) ?

2) Beispiel Differenzenglg. an ist eine Folge von 0 und 1 wobei keine 2 Einsen hintereinander vorkommen dürfen. Also für a3 ist 010 eine gültige Lösung

a) Gib alle a0, a1, a2 und a3 an
  Lösung ohne Gewehr
    a0 = leeres Wort
    a1 = {0, 1}
    a2 = {00, 01, 10}
    a3 = {000, 100, 010, 001, 101}
b) gib eine Differenzengleichung an welche die Anzahl der Worte beschreibt.

Hinweis: Betrachte wie viele Zahlen mit 0 und wie viele Zahlen mit 1 enden. Es ergibt eine Differentialgleichung zweiter Ordnung

  Lösung ohne Gewehr      ZahlenAuf1Vona? enden | ZahlenAuf0Vona? enden
    a0 = leeres Wort                            |
    a1 = {0, 1}                          1      |    1
    a2 = {00, 01, 10}                    1      |    2
    a3 = {000, 100, 010, 001, 101}       2      |    3
  Wenn man genau hinsieht (am besten schaut man sich a4 auch noch an) sieht man das die Zahlen die mit 0 Enden eine Fibbonaci Zahl sind, also Zahlen auf 0 Enden   
von a4 = ZahlenAuf0Vona2+ZahlenAuf0Vona3 = 2+3 = 5 (wenn man bei a4 nachschaut sollte das auch stimmen).
und die Zahlen die auf 1 Enden sind immer die Vorgängerzahl was auf 0 Endet, also hier für ZahlenAuf1Vona2 = ZahlenAuf0Vona1, für ZahlenAuf1Vona3 = 
ZahlenAuf0Vona2, ZahlenAuf1Vona4 = ZahlenAuf0Vona3 etc.

Daher kommt man auf die Differnetialgleichung
an+2 = 2*an+1 + an

Jetzt noch die Differntialgleichung lösen und fertig

3) Lösen mit Vollständiger Induktion

(1 + 2 + 3 ... + n)^2 = 1^3+2^3+3^3+ ... + n^3
Hinweis: Beweise zurerst Gauße Summenformel

4) Eigenvektoren und Eigenwerte mit

 A = (2 -1)
     (4 -3)  oder so ähnlich, weiß nimma genau

5) Theorie Algebraische Strukturen

5.1) Wie ist ein Körper (K,+,*) definiert
5.2) Nenne zwei Körper (K,+,*) Mit |K| = unendlich (also unendlicher Ordnung)
5.3) Nehme an jedes (Zn,+,*) ist ein Ring mit Einselement
     Warum ist (Z4,+,*) kein Körper aber (Z5,+,*) ein Körper. Male auch die Gruppentafel auf