TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VO (Karigl)/Prüfung 2013-05-08
siehe auch Thread im Informatikforum
Aufgabe 1[edit]
Man bestimme die allgemeine Lösung der Differenzengleichung (für
) und die partikuläre Lösung, die der Anfangsbedingung
genügt.
Aufgabe 2[edit]
Sieben Rechner-Knoten sollen über ein Hochgeschwindigkeits-Datennetz miteinander verbunden werden. Die in Betracht kommenden Leitungsführungen und deren Kosten sind in nachstehendem bewertetem Graphen angegeben. Man bestimme alle kostenminimalen Datennetze, an die sämtliche Knoten angeschlossen sind, sowie deren Gesamtkosten.
Aufgabe 3[edit]
Gegeben sei die Matrix
Man zeige, dass ein Eigenwert von
mit der Vielfachheit 2 ist, und berechne alle zugehörigen Eigenvektoren.
Aufgabe 4[edit]
Lineare Abhängigkeit in Vektorräumen:
- Man erkläre die Begriffe "linear abhängig" bzw. "linear unabhängig" für Vektoren eines Vektorraums
über dem Körper
.
- Ferner gebe man je ein Beispiel mit drei linear abhängigen bzw. linear unabhängigen Vektoren im
.
- Was versteht man unter einer Basis eines Vektorraums
?
- Schließlich gebe man zwei verschiedene Basen für den Vektorraum
aller Polynome
vom Grad kleiner gleich 2 mit Koeffizienten
an.
Aufgabe 5[edit]
Es sei jene binäre Relation auf
, welche durch
definiert ist. Man beantworte die folgenden Fragen (bitte ankreuzen, es können keine, genau eine oder auch mehrere Antworten zutreffend sein).
- Für die Relation
gilt:
- Die Relation
ist:
- symmetisch
- antisymmetrisch
- Ist die Relation
reflexiv?
- ja
- nein
- Ist
eine Äquivalenzrelation?
- ja
- nein
- Ist
eine Halbordnungsrelation?
- ja
- nein
- Induziert die Relation
eine Partition auf der Menge
?
- ja
- nein
- Kann
durch ein Hasse-Diagramm dargestellt werden?
- ja
- nein
- Die Relation
ist:
- injektiv
- surjektiv
- bijektiv