TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VO (Karigl)/Prüfung 2019-05-03

Zeit: 100 Minuten

Aufgabe 1

Gegeben sei die rekursive Folge $x_{n+1}=\frac{x_n}{x_n(3^n-1)},(n\ge 1)$ mit Startwert $x_1=\frac{1}{2}$.

Berechnen Sie $x_2,x_3,x_4$ und $x_5$.

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass Folgendes gilt:

$x_n=\frac{1}{3^n-1}$

Notiz: Achtung, dieses Beispiel ist unlösbar. Angabe Falsch? Richtig lautet:

$x_n=\frac{1}{3^{n-1}-1}$

Aufgabe 2

Man musste den minimalen Spannbaum eines Graphen bestimmen der genauso aussah wie der folgende nur mit anderen Kantenwerten.

Datei:TU Wien-Algebra und Diskrete Mathematik VO (Karigl)-Prüfung 2016-01-27 - Netzwerk.jpeg

Dies lässt sich sehr einfach mit dem Algorithmus von Kruskal bewerkstelligen.

Aufgabe 3

Lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen und 3 Gleichungen auf Lösbarkeit untersuchen und gegenfalls alle Lösungen angeben (war nicht lösbar).

Aufgabe 4

Theorie zu Relationen:

• Definiere Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität. Wofür stehen Äquivalenzrelation und Halbordnungsrelation? (Gebe jeweils ein Beispiel an)
• Beschreibe den Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelation und Partition (kein Beweis notwendig).

Aufgabe 5

Multiple Choice zu einer 2019x2019 Matrize mit Determinante 2020. Die Matrix war nicht explizit angeben und man musste nur aufgrund ihrer Größe und Determinante auf Eigenschaften schließen.