TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 128
Seien und Halbordnungen auf der Menge M. man beweise, dass dann auch ihr Durchschnitt Halbordnung auf M ist.
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oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Halbordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:
- Reflexivität: ,
- Antisymmetrie: ,
- Transitivität: .
Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Prinzipiell muss man sich nur klar werden, dass nur alle jene Tupel sind wenn gilt
damit lassen sich die Eigenschaften einer Halbordung relativ leicht zeigen.
Reflexivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Nachdem die rechte Seite auf jeden Fall gilt ( sind per Definition Halbordnungen), muss auch die linke Seite gelten
Antisymmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
In anderen Worten: Würde nicht gelten, dann würde es auch keine Beziehung der Form geben. Daher kann aber (a,b) kein Element von R sein.
Transitivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Nur weil die Transitivität sowohl in als auch gilt, sind die Elemente in der Schnittmenge R. Dadurch gilt die Transitivität aber natürlich auch in der Schnittmenge selbst.