TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 134

Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen $R\subseteq A\times B$ um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

$R=\left\lbrace \left({\sqrt {x}},{\frac {1}{x}}\right)\ |\ x\in \mathbb {R} ^{+}\right\rbrace ,A=B=\mathbb {R^{+}}$

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Hilfreiches

Funktion

Funktion

Eine Funktion oder Abbildung $f:A\to B$ von $A$ nach $B$ ist eine Relation $R_{f}\subseteq A\times B$ mit der Eigenschaft, dass zu jedem $a\in A$ genau ein $b\in B$ mit $aR_{f}b$ existiert. Man schreibt dafür $b=f(a)$. Der Graph einer Funktion $f:A\to B$ ist die Menge $\{(a,f(a))|a\in A\}\subseteq A\times B$.

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})$ oder äquivalent: $a_{1},a_{2}\in A,f(a_{1})=f(a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}$

Surjektivität

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\forall b\in B\ \exists a\in A:b=f(a)$

Bijektivität

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$.

Lösungsvorschlag

Grundlegende Überlegungen

$\mathbb {R} ^{+}=\{x\in \mathbb {R} |x>0\}$

$\mathbb {R} _{0}^{+}=\{x\in \mathbb {R} |x\geq 0\}$

Zuerst sollte man sich überlegen, mit welchen Funktionen man es hier überhaupt zu tun hat.

Zuerst ${\sqrt {x}}$:

Per Definition gilt:

${\sqrt {x}}\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}$

${\frac {1}{x}}\colon \mathbb {R} \backslash \{0\}\to \mathbb {R}$

Aber weil hier gilt $x\in \mathbb {R} ^{+}$ folgt ${\frac {1}{x}}\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}$

Funktion

Damit die Relation eine Funktion ist muss jedes $a\in A=\mathbb {R} ^{+}$ genau einem $b\in B=\mathbb {R} ^{+}$ zugeordnet werden.

Nun zuerst bildet ${\sqrt {x}}\quad A=\mathbb {R} ^{+}$ auf $B'=\mathbb {R} ^{+}$ ab. Und dann wird $B'=\mathbb {R} ^{+}$ durch ${\frac {1}{x}}$ auf $B=\mathbb {R} ^{+}$ abgebildet.

Wichtig ist es hier zu erkennen, dass

• jedes $a\in A=\mathbb {R} ^{+}$ abgebildet wird (es gibt keine Bereiche/ Werte in $\mathbb {R} ^{+}$ die man nicht in die beiden Funktionen einsetzen dürfte)
• jedes $a\in A=\mathbb {R} ^{+}$ auf nur genau ein $b\in B=\mathbb {R} ^{+}$ abgebildet wird (es kann nicht passieren dass für ein $a\in A=\mathbb {R} ^{+}$ mehrere $b\in B=\mathbb {R} ^{+}$ möglich sind)

Daher sind die Vorrausetzungen für eine Funktion erfüllt und die Relation ist eine Funktion.

$f\colon {\begin{cases}\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}\\{\sqrt {x}}\mapsto {\frac {1}{x}}\end{cases}}$

Nachdem ${\sqrt {x}}$ (nach Definition) bijektiv gibt es eine Umkehrfunktion davon und man kann die Funktion noch etwas einfacher darstellen:

$f\colon {\begin{cases}\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}\\x\mapsto {\frac {1}{x^{2}}}\end{cases}}$

Injektivität

${\frac {1}{x^{2}}}$ ist in $\mathbb {R} ^{+}$ injektiv, weil für alle $a_{1},a_{2}\in A:a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})$ gilt. (es gibt alle keine Funktionswerte die doppelt vorkommen)

Anmerkung: In $\mathbb {R}$ gilt das aber natürlich nicht mehr: ${\frac {1}{(-1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}$ Was ist mit wurzel(-2)? Deshalb kann die funktion f(x)=wurzel(x) nicht bijektiv sein, oder? Antwort: Richtig. Gegeben ist aber (vermutlich genau deswegen) A = B = $\mathbb {R} ^{+}$

Surjektivität

${\frac {1}{x^{2}}}$ ist in $\mathbb {R} ^{+}$ surjektiv, weil $\forall b\in B\exists a\in A:b=f(a)$ gilt. (für jedes Element des Bildbereichs B lässt sich ein zugehöriges Element aus dem Definitionsbereich A finden)

Auch das gilt nicht für ganz $\mathbb {R}$

Bijektivität

nachdem die Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist die Funktion automatisch auch bijektiv