TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 142

Seien $f:A\rightarrow B$ und $g:B\rightarrow C$ surjektive Abbildungen. Man zeige, dass dann auch $h=g\circ f:A\rightarrow C$ surjektiv ist. ($(g\circ f)(x)=g(f(x))$)

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Hilfreiches

Surjektivität

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\forall b\in B\ \exists a\in A:b=f(a)$

Verkettung

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Anmerkung: $\circ$ steht für eine Verkettung. --Mnemetz 16:55, 21. Nov 2005 (CET)

Eine Abbildung $f:A\rightarrow B$ ist surjektiv, wenn für alle $b\in B$ mindestens ein $a\in A$ existiert, sodaß $f(a)=b$.

Wir müssen daher nun zeigen, dass bei der Hintereinanderausführung $g\circ f:A\rightarrow C$für alle $c\in C$ mindestens ein $a\in A$ existiert, sodass $f(a)=c$:

$(g\circ f)(a)=g(f(a))=c\qquad \exists \ a\in A\quad \forall c\in C$

Da die Abbildung g surjektiv ist, gibt es ein $b\in B$ für alle $c\in C$, sodass:

$g(\underbrace {f(a)} _{=b})=g(b)=c$

Da auch f surjektiv ist, gibt es auch tatsächlich ein $a\in A$ für alle $b\in B$ mit:

$f(a)=b$

Daraus folgt, dass es ein $a\in A$ für alle $c\in C$ gibt, für die

$g(f(a))=c$

gilt. Das bedeutet, dass die Hintereinanderausführung $g\circ f$ der surjektiven Abbildungen g und f selbst auch surjektiv sein muss.