TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 165

Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus einem 50-bändigen Lexikon genau 6 Bücher auszuwählen,wobei zwischen zwei ausgewählten Bänden immer mindestens drei im Regal stehen bleiben sollen?

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Lösung

im Prinzip genau wie TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS10/Beispiel_149

Anordnung: |Aooo|Aooo|Aooo|Aooo|Aooo|A|

es ist eine Auswahl einer Teilmultimenge

A... die 6 auszuwählenden Bücher

o... die jeweils drei Bücher die nach A sein müssen, bevor wieder ein A kommen darf

|... Platzhalter; an all diesen Stellen dürfen noch andere Bücher (beliebig oft vorkommen)

es gibt also 7 Plätze an denen Bücher frei eingereiht werden können $n=7$
Aus der Multimenge muss $k=50-(5\cdot 4+1)=29$ gezogen werden

$\Rightarrow {n+k-1 \choose k}={7+29-1 \choose 29}={35 \choose 29}=1.623.160$

--MatheFreak 00:39, 11. Dez. 2010 (CET)

Lösung (Das MoMo-LeMa [Lösung von Mo, Mo, Le, und Ma])

Ein für uns einfacher Weg, diese Aufgabe zu Lösen schaut wie folgt aus:

Wir berechnen die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten, wie wir die Bücher mit der Sperre von 3 Büchern auswählen können.

Auswahlmöglichkeiten - Ziehungen * Sperre

Wobei (k-1) die Anzahl ist, wie oft wir 3 weitere Bücher sperren. Es ist egal, dass wir 3 Bücher der letzten Ziehung sperren. Deshalb k-1

n-(k-1)*s

$\ {n-(k-1)*s \choose k}={50-(6-1)*3 \choose 6}={35 \choose 6}=1.623.160$

Wobei

n ... Anzahl der Bücher (50)

k ... Anzahl der Bücher die wir Nehmen (6)

s ... Anzahl der "neuen Bücher, die pro Ziehung gesperrt werden" (3)

Anm.:

${35 \choose 6}={35 \choose 29}=1.623.160$