TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 225

Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differenzengleichungen

(a) $x_{n+2}+12x_{n+1}+36x_{n}=0$

(b) $x_{n+2}-2x_{n+1}+5x_{n}=0$

(c) $x_{n+2}+11x_{n+1}+28x_{n}=0$

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Erklärung im Buch

• Seite 282, 283 und 284.
• bzw Seite 299 und 300 in 4. Auflage

Lösungsvorschlag von thp

Berechnen mit der charakteristischen Gleichung: $\lambda ^{2}+a\cdot \lambda +b=0$

Dann Fallunterscheidung laut Buch S. 283f., und man kommt auf folgende Lösungen:

(a) $\lambda _{1}=\lambda _{2}=-6$

Allgemeine Lösung: $x_{n}=(-6)^{n}\cdot (C_{1}+C_{2}\cdot n)$

(b) $\lambda _{1,2}=1\pm 2i$

Umrechnen auf Polarkoordinaten (Umrechnungsformel): $r={\sqrt {5}},\varphi =arctan({\frac {2}{1}})=1.11$

Allgemeine Lösung: $x_{n}=({\sqrt {5}})^{n}\cdot (D_{1}\cdot cos(1.11n)+D_{2}\cdot sin(1.11n))$

(c) $\lambda _{1}=-7,\lambda _{2}=-4$

Allgemeine Lösung: $x_{n}=C_{1}\cdot (-7)^{n}+C_{2}\cdot (-4)^{n}$

Links

• Umrechnung Komplexe Zahl in Polarkoordinaten
• Homogene lineare Differenzengleichungen (in Josef Leydolds "Mathematik für Ökonomen")
• Formel zur Berechnung von Nullstellen mit komplexen Koeffizienten