TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 25

Zeigen Sie, dass $\sqrt{3}$ irrational ist!

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Hilfreiches

Indirekter Beweis

Primzahl teilt Quadrat

Primzahl teilt Quadrat

wenn $p|a^2$ dann auch $p|a$ Es gelten folgende Voraussetzungen:

• $p$ muss eine Primzahl sein
• $a$ muss eine ganze Zahl sein

Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist $a$ eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:

1. $a$ ist durch $p$ teilbar. Dann ist auch $a^2$ durch $p$ teilbar
2. $a$ ist nicht durch $p$ teilbar. Dann ist auch $a^2$ nicht durch $p$ teilbar: wenn $p$ nicht in der Primzahlenzerlegung von $a$ vorkommt, kann es auch nicht in der von $a^2$ vorkommen

Die Kontraposition des zweiten Falls: "Wenn $a^2$ durch $p$ teilbar ist, dann auch $a$". (Wäre $a$ nicht durch $p$ teilbar dann auch $a^2$ nicht)

Lösungsvorschlag von samuelp

Angenommen: $\sqrt{3}$ ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich $\sqrt{3}$ als Bruch darzustellen: $\sqrt{3}=\frac{a}{b}$ mit natürlichen Zahlen $a$ und $b$. Weil es für jede rationale Zahl einen Burch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für $\sqrt{3}$ gelten. Wir nehmen an $\frac{a}{b}$ ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt ist.

Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:

$\begin{array}{ccc}\sqrt{3}& =& \frac{a}{b}\\ 3& =& \frac{a^2}{b^2}\\ 3b^2& =& a^2\end{array}$

Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass $a^2$ durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch $a$ durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir $r$ sodass $a=3r$.

Weitere Umformung:

$\begin{array}{ccc}3b^2& =& a^2\\ 3b^2& =& 9r^2\\ b^2& =& 3r^2\end{array}$

Ähnlich wie oben erkennen wir, dass $b^2$ durch 3 teilbar ist und damit auch $b$.

Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch $\frac{a}{b}$ soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl $a$ als auch $b$ durch 3 teilbar sind.