TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 355
Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.
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oder
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
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Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:
- Abgeschlossenheit: , für (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das entspricht einer Funktion von
- Assoziativgesetz: für alle .
- Einheitselement: Es existiert ein , so dass für alle gilt: .
- Inverses Element: Für jedes gibt es ein inverses Element (oder auch ) so, dass gilt . Wobei das e das Einheitselement ist.
- Kommutativgesetz: für alle .
Nr. Gruppoid Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe 1 X X X X X 2 X X X X 3 X X X 4 X X 5 X
Lösungsvorschlag von Gamer199[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Da die gegebene Menge M die Menge ohne ist, müssen wir untersuchen, ob der Ausdruck überhaupt ergeben kann. Prüfen wir also:
und
Schlussfolgerung: Das Ergebnis der Operation ist nur dann , wenn entweder oder sind, aber das ist von vornherein ausgeschlossen. Daher ist die Abgeschlossenheit gegeben.
Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es muss gelten: für alle .
Wir erleichtern uns anfangs mit zwei variablen:
Die Rechnung sieht wie folgt aus:
Schlussfolgerung: Rechts gleich links Daher ist die Assoziativität gegeben.
Neutrales Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für ein neutrales Element e aus M muss gelten:
Schlussfolgerung: das heißt, Es gibt ein neutrales Element
Inverses Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Bei der Operation soll das Einheitselement e herauskommen. Prüfen wir also:
Schlussfolgerung: das heißt, Es gibt ein inverses Element
Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Abgeschlossenheit, Assoziativität, Neutrales Element, Inverses Element: Es liegt eine Gruppe vor
Sogar eine abelsche