TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 355

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Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Angabetext
}}


Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: , für (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das entspricht einer Funktion von
  2. Assoziativgesetz: für alle .
  3. Einheitselement: Es existiert ein , so dass für alle gilt: .
  4. Inverses Element: Für jedes gibt es ein inverses Element (oder auch ) so, dass gilt . Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: für alle .
  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Lösungsvorschlag von Gamer199[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die gegebene Menge M die Menge ohne ist, müssen wir untersuchen, ob der Ausdruck überhaupt ergeben kann. Prüfen wir also:

und

Schlussfolgerung: Das Ergebnis der Operation ist nur dann , wenn entweder oder sind, aber das ist von vornherein ausgeschlossen. Daher ist die Abgeschlossenheit gegeben.

Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es muss gelten: für alle .

Wir erleichtern uns anfangs mit zwei variablen:

Die Rechnung sieht wie folgt aus:

Schlussfolgerung: Rechts gleich links Daher ist die Assoziativität gegeben.

Neutrales Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein neutrales Element e aus M muss gelten:

Schlussfolgerung: das heißt, Es gibt ein neutrales Element

Inverses Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Operation soll das Einheitselement e herauskommen. Prüfen wir also:

Schlussfolgerung: das heißt, Es gibt ein inverses Element

Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abgeschlossenheit, Assoziativität, Neutrales Element, Inverses Element: Es liegt eine Gruppe vor


Sogar eine abelsche