TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 357

Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

$M=\mathbb{Q}\mathrm{\setminus }\{-1\},a\circ b=a+b+ab$

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Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: $G\times G=G$, für $a,b\in G\to a\circ b\in G$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das $\circ$ entspricht einer Funktion von $\circ :G\times G\to G$
2. Assoziativgesetz: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in G$.
3. Einheitselement: Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: $a\circ e=e\circ a=a$.
4. Inverses Element: Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a^{\prime }\in G$ (oder auch $a^{-1}$) so, dass gilt $a\circ a^{\prime }=a^{\prime }\circ a=e$. Wobei das e das Einheitselement ist.
5. Kommutativgesetz: $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$.

  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Abgeschlossenheit

Da die gegebene Menge M die Menge $\mathbb{Q}$ ohne $-1$ ist, müssen wir untersuchen, ob der Ausdruck $a+b+ab$ überhaupt $-1$ ergeben kann. Prüfen wir also:

$a+b+ab=-1$

$a+ab=-1-b$

$a\ast (1+b)=-1-b$

$a=\frac{-(1+b)}{1+b}$

$a=-1$ und $b=-1$

Schlussfolgerung: Das Ergebnis der Operation $a\circ b$ ist nur dann $-1$, wenn entweder $a$ oder $b$ $-1$ sind, aber das ist von vornherein ausgeschlossen. Daher ist die Abgeschlossenheit gegeben.

Assoziativität

Es muss gelten: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in M$.

Wir erleichtern uns anfangs mit zwei variablen:

$a\circ b=a+b+ab=x$

$b\circ c=y$

Die Rechnung sieht wie folgt aus:

$x+c+xc=a+y+ay$

$a+b+ab+c+(a+b+ab)\ast c=a+b+c+bc+ab+ac+bca$

$a+b+c+ab+ac+bc+abc=a+b+c+ab+ac+bc+abc$

Schlussfolgerung: Rechts gleich links Daher ist die Assoziativität gegeben.

Neutrales Element

Für ein neutrales Element e aus M muss gelten: $a\circ e=e\circ a=a$

$a\circ e=a$

$a+ea+e=a$

$e\ast (1+a)=0$

$e=0$

Schlussfolgerung: $e=0$ das heißt, Es gibt ein neutrales Element

Inverses Element

Bei der Operation $a\circ a^{\prime }=a^{\prime }\circ a=e$ soll das Einheitselement e herauskommen. Prüfen wir also:

$a\circ a^{\prime }=e$

$a\circ a^{\prime }=0$

$a^{\prime }+a+a^{\prime }a=0$

$a^{\prime }+a^{\prime }a=-a$

$a^{\prime }\ast (1+a)=-a$

$a^{\prime }=\frac{-a}{1+a}$

Schlussfolgerung: $a^{\prime }=\frac{-a}{1+a}$ das heißt, Es gibt ein inverses Element

Schlussfolgerung

Abgeschlossenheit, Assoziativität, Neutrales Element, Inverses Element: Es liegt eine Gruppe vor

Sogar eine abelsche