TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 370

Man zeige: Der Durchschnitt zweier Untergruppen ist wieder eine Untergruppe.
Gilt dies auch für die Vereinigung zweier Untergruppen?

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Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Also wir haben eine Gruppe $\left\langle G,*\right\rangle$ und davon zwei Untergruppen.

Ja was sind nun Untergruppen ?

Untergruppen sind Teilmengen der Gruppe , auf denen mit der selben Verknüpfung auch alle Gruppenaxiome gelten.

Streng mathematisch definiert: Eine Gruppe $\left\langle U,*\right\rangle$ heißt Untergruppe der Gruppe $\left\langle G,*\right\rangle$ ,wenn U eine Teilmenge von G ist ( $U\subset G$ ).

Und es gibt das sogenannte Untergruppenkriterium:

Sei $U\subset G$ Dann ist genau dann U eine Untergruppe von G wenn gilt:

1) $U\neq \{\}$ ( U ungleich der leeren Menge)

2) Ist $x\in U$ , so auch $-x\in U$ ( von jedem Element muss auch das invers Element drin sein)

3) Sind $g,h\in U$ , so auch $g+h\in U$ ( man darf nicht aus der Teilmenge rauskommen / Gesetz der Abgeschlossenheit)

So jetzt einige Abmachungen für das restliche Beispiel:

Wir nennen die Ausgangsgruppe G und die zwei Untergruppen U und V, Elemente von G,U,V schreiben wir immer mit Indizes damit wir wissen aus welcher Gruppe sie sind, also $x_{g}$ , $x_{u}$ oder auch $y_{v}$ . Die Neutralelemente von G,U,V schreiben wir als $e_{g}$ , $e_{u}$ und $e_{v}$ .

Der Durchschnitt von U,V ist : D = $\{x\in G|x\in U\land x\in V\}$ . Also wenn D das Untergruppenkriterium erfüllt ist D auch eine Untergruppe.

1) Es gilt für jede Untergruppe U oder V von G das $e_{g}=e_{u}=e_{v}$ ist, weil es gilt für jedes Element der Untergruppe $x_{u}-x_{u}=e_{u}$ als auch $x_{u}-x_{u}=e_{g}$ , weil Elemente einer Untergruppe auch immer Elemente der Obergruppe sind. Also das neutral Element ist in jeder Untergruppe gleich dem Neutralelement der Obergruppe. Damit gilt $e_{g}\in U$ und $e_{g}\in V$ . Und somit ist auch $e_{g}\in D$ . Und D nicht leer. Edit: mir hat diese Formulierung mehr geholfen: Da U,V Untergruppen von G sind, muss in beiden das neutrale Element enthalten sein. Daher muss auch im Schnitt von beiden das neutrale Element enthalten sein. Analog zum Inversen: da U,V Untergruppen sind, müssen beide zu jedem Element auch dessen Inverses besitzen (sonst wären sie keine Gruppen). Das heißt, wenn ein Element im Schnitt enthalten ist, muss dessen Inverses ebenfalls im Schnitt enthalten sein.

2) Ist $a_{u}=a_{v}$ also ein Element in beiden enthalten, also ein Element aus D,dann ist, $-a_{u}=-a_{v}$ , das zeigt man ganz gleich wie bei dem Neutralelement über die Obergruppe. Das heisst aber das auch $-a_{d}=-a_{u}=-a_{v}$ in D enthalten ist.

3) Gilt $a_{u}=a_{v}$ und $b_{u}=b_{v}$ , so gilt auch $a_{u}+b_{u}=a_{v}+b_{v}$ , wieder mit dem gleichen Argument, und somit ist auch $a_{d}+b_{d}\in D$

Edit zu 3): meine Erklärung: $a,b\in D\Rightarrow a,b\in U\land a,b\in U\Rightarrow a\circ b\in U\land a\circ b\in V\Rightarrow a\circ b\in D$

Also alle Bedingungen des Untergruppenkriteriums sind erfüllt.

Eine Anmerkung:

Aus dem bisher gesagten sieht man, die kleinste Untergruppe einer Gruppe {e}

Die Vereinigung zweier Untergruppen ist nicht immer eine Untergruppe.

Warum ?

Weil sei a Element aus U und b Element aus V und gelte a kein Element aus V und b kein Element aus U. dann gibt es keinen Grund warum a+b wieder in U vereinigt V liegen sollte.

Beispiel:

Obergruppe $G=\left\langle ganzeZahlen,+\right\rangle$