TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 373

Sei U die von (1)(23) erzeugte Untergruppe der $S_{3}$. Man bestimme die Rechtsnebenklassen von U. Ist U ein Normalteiler von $S_{3}$?

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Angabe

UE WS07 Anmerkung zu Bsp. 255: (1)(23) verwendet die Zyklendarstellung einer Permutation, d.h. gemeint ist die Permutation (1,2,3) -> (1,3,2).

Lösungsvorschlag von mnemetz

(Basierend auf WS05 Beispiel 247)

$S_{3}$ besteht aus 6 Elementen (Zyklenschreibweise):

$S_{3}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\text{ }}a:=(1)(2)(3)\\{\text{ }}b:=(123)\\{\text{ }}c:=(213)\\{\text{ }}d:=(1)(23)\\{\text{ }}e:=(2)(13)\\{\text{ }}f:=(3)(12)\end{cases}}$

$S_{3}$ bezeichnet die "Symmetrische Gruppe von 3 Elementen", also die Menge der Permutationen von 3 Elementen mit der Hintereinanderausführung als Operation.

Die von (1)(23) erzeugte Untergruppe ist dann: U = {a, d}

Rechtsnebenklassen findet man so: ${\begin{aligned}U*x&=&\{u*x&|&u\in U\}\end{aligned}}$

Die 3 Rechtsnebenklassen sind:

• U * a = {a*a, d*a} = {a, d}
• U * b = {a*b, d*b} = {b, e}
• U * c = {a*c, d*c} = {c, f}

Für Normalteiler gilt: LNK = RNK

U*b ist aber nicht gleich b*U, also ist U kein Normalteiler von $S_{3}$.

Zitiere ChristophR aus dem Informatikforum:

$S_{3}$ sind einfach alle Permutationen von 3 Elementen: man muss es einfach durchspielen: alle an ihrem Platz, zweites und drittes vertauscht, erstes und zweites vertauscht, etc.

Die Untergruppe bekommt man indem man sich überlegt, welche Elemente man zu (1)(23) noch mindestens dazunehmen muss um durch Kombination zweier Elemente der Untergruppe nicht aus dieser herauszukommen (Abgeschlossenheit), und dass es ein inverses und für jedes Element ein neutrales Element gibt. (so dass eben alle Gruppen-Kriterien erfüllt sind)

Anmerkung: Viel überlegen muss man sich beim Ermitteln der Untergruppe wohl kaum. Es ist laut Angabe "die von (23) erzeugte Untergruppe" (U) gesucht, also müssen wir nichts Anderes tun als das Element (23) immer wieder mit sich selbst zu verknüpfen, wodurch die Elemente von U entstehen. Schließlich muss eine Gruppe abgeschlossen sein, also darf man durch mehrmaliges Verknüpfen von (23) mit sich selbst nicht aus U herauskommen. Die Elemente, die durch das Verknüpfen von (23) mit sich selbst entstehen, sind also genau die Elemente in U, darunter natürlich auch das neutrale Element, die identische Abbildung. --Neverlasting

Links

• Diskussion informatik-Forum WS05 Beispiel 247
• Diskussion informatik-Forum WS07 Beispiel 255