TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 374

Sei U die von (2)(13) erzeugte Untergruppe der $S_{3}$. Man bestimme die Linksnebenklassen von U. Ist U der Normalteiler von $S_{3}$?

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Lösungsvorschlag von mnemetz

$S_{3}$ besteht aus 6 Elementen (Zyklenschreibweise):

$S_{3}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\text{ }}a:=(1)(2)(3):={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}\\{\text{ }}b:=(123):={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}\\{\text{ }}c:=(213):={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}\\{\text{ }}d:=(1)(23):={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}\\{\text{ }}e:=(2)(13):={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}\\{\text{ }}f:=(3)(12):={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}\end{cases}}$

$S_{3}$ bezeichnet die "Symmetrische Gruppe von 3 Elementen", also die Menge der Permutationen von 3 Elementen mit der Hintereinanderausführung als Operation.

Die von (2)(13) erzeugte Untergruppe ist dann: $U=\{a,e\}$.

Linksnebenklassen findet man so: ${\begin{aligned}a\circ U&=&\{a\circ u&|&u\in U\}\end{aligned}}$

Die 3 Linksnebenklassen sind:

• a $\circ$ U = e $\circ$ U = {a, e}
• b $\circ$ U = d $\circ$ U = {b, d}
• c $\circ$ U = f $\circ$ U = {c, f}

Für Normalteiler gilt: LNK = RNK

b $\circ$ U ist aber nicht gleich U $\circ$ b, also ist U kein Normalteiler von $S_{3}$.

Zitiere ChristophR aus dem Informatikforum: $S_{3}$ sind einfach alle Permutationen von 3 Elementen: man muss es einfach durchspielen: alle an ihrem Platz, zweites und drittes vertauscht, erstes und zweites vertauscht, etc.

Die Untergruppe bekommt man indem man sich überlegt, welche Elemente man zu (1)(23) noch mindestens dazunehmen muss um durch Kombination zweier Elemente der Untergruppe nicht aus dieser herauszukommen (Abgeschlossenheit), und dass es ein inverses und für jedes Element ein neutrales Element gibt. (so dass eben alle Gruppen-Kriterien erfüllt sind)

Webressourcen

• f.thread:30719&highlight=Rechtsnebenklassen