TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 38

Man berechne ohne Taschenrechner alle Werte von ${\sqrt[{3}]{-i}}$ in der Form $[r,\varphi ]$.

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Lösung nach der Übung vom 29.10.2007:

Durch die Darstellung auf der Gauß'schen Zahlenebene erkennt mann, dass der Winkel -90° ist - dh. ${\frac {-\pi }{2}}$,

z=0-i dh: a=0, b=-1

r=1

(siehe Erklärung analog mit Hapi weiter unten)

In Polardarstellung lautet ${\sqrt[{3}]{-i}}$ in der Form $[r,\varphi ]$ = $[1,{\frac {-\pi }{2}}]$

dann muss noch in die folgende Formel eingesetzt werden:

wj = [${\sqrt[{n}]{R}}$, ${\frac {\varphi }{n}}$ + ${\frac {2*\pi *j}{n}}$]

Das ergibt:

[1, ${\frac {-\pi }{6}}$] [1, ${\frac {\pi }{2}}$] [1, ${\frac {7\pi }{6}}$]

Lösungsvorschlag

Da es sich um eine 3-te Wurzel handelt, gibt es drei Lösungen.

Die Koordinaten in der Gaußschen Zahlenebene sind daher: Z = 0 -i (Form a - bi), was 3/2 $\pi$ oder 270 Grad entspricht.

Auch der Betrag von z ist hier einfach: $z={\sqrt {0+i^{2}}}={\sqrt {1}}=1$. Der Wert von r ist daher nicht ganz überraschend 1. Das heißt, alle 3 gesuchten Werte liegen am Einheitskreis.

 Z = |Z| *$(cos\phi$ - i.sin$\phi$) = |Z| * (0 -i)   Leicht mit Angabe nachzuprüfen.

 Z0 = $[{\sqrt[{3}]{1}}$, ${\frac {3*\pi }{2}}+{\frac {2*\pi }{3}}*0]=[1,{\frac {9*\pi }{6}}]$
 Z1 = $[{\sqrt[{3}]{1}}$, ${\frac {3*\pi }{2}}+{\frac {2*\pi }{3}}*1]=[1,{\frac {\pi }{6}}]$
 Z2 = $[{\sqrt[{3}]{1}}$, ${\frac {3*\pi }{2}}+{\frac {2*\pi }{3}}*2]=[1,{\frac {5*\pi }{6}}]$

Hapi

Frage: Sollte man den Startwinkel nicht auch /3 dividieren ? D.h. 2/3pi / 3 = 3/6pi als Z0 und 7/6pi als Z1 und 11/6pi als Z2 ? Schlumie

Ja, da hat Schlumie recht, das würde dann wie folgt aussehen:

 Z0 = $[{\sqrt[{3}]{1}}$, ${\frac {3*\pi }{6}}+{\frac {4*\pi }{6}}*0]=[1,{\frac {3*\pi }{6}}]=[1,{\frac {\pi }{2}}]$
 Z1 = $[{\sqrt[{3}]{1}}$, ${\frac {3*\pi }{6}}+{\frac {4*\pi }{6}}*1]=[1,{\frac {7*\pi }{6}}]$
 Z2 = $[{\sqrt[{3}]{1}}$, ${\frac {3*\pi }{6}}+{\frac {4*\pi }{6}}*2]=[1,{\frac {11*\pi }{6}}]$ durch den mod 2$\pi$ wird das $[1,{\frac {5*\pi }{6}}]=[1,-{\frac {\pi }{6}}]$

Dann sind die Ergebnisse gleich denen der Übung vom 29.10

skinner33

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Ähnliche Beispiele: 32 - 35.