TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 398

Von der Abbildung $f:(\mathbb {Z} _{3})^{2}\rightarrow (\mathbb {Z} _{3})^{4}$ sei bekannt, daß $f$ ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist (die jeweils komponentenweise definiert sein soll), sowie dass

${\begin{aligned}f(0,1)=(0,1,1,2)\\f(1,0)=(1,0,2,0)\end{aligned}}$.

Man ermittle f $(w)$ für alle $w$ Element von $(\mathbb {Z} _{3})^{2}.$

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Lösungsvorschlag von Neverlasting

Wir haben einen Gruppenhomomorphismus $f$ zwischen den beiden Gruppen $((\mathbb {Z} _{3})^{2},+)$ und $((\mathbb {Z} _{3})^{4},+)$. Da $f$ ein Homomorphismus ist, gilt per Definition:

$f(a)+f(b)=f(a+b)$

Sei nun $a=(0,1)$ und $b=(1,0)$. Es gilt:

${\begin{aligned}f(a+b)&=f(a)+f(b)\\f((0,1)+(1,0))&=f(0,1)+f(1,0)\\f(1,1)&=f((0,1)+(1,0))=f(0,1)+f(1,0)\end{aligned}}$

Wir erhalten also durch Addieren der bereits bekannten Funktionswerte, nämlich für $(0,1)$ und $(1,0)$, den Funktionswert, der durch das Urbild $(1,1)$ entsteht. Auf diese Weise lassen sich die Funktionswerte für alle möglichen Urbilder ermitteln. Man beachte, dass das Addieren stets komponentenweise erfolgt und modulo 3 gerechnet wird.

Letzteres ist übrigens nicht sehr verwunderlich, da durch jeden Homomorphismus von G nach H das neutrale Element von G auf das neutrale Element von H abgebildet wird.