TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 414

Untersuchen Sie, ob die folgende Struktur ein Ring, Integritätsbereich bzw. Körper ist:

$M=\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]=\{a+b*{\sqrt {5}}|a,b\in \mathbb {Q} \}$ mit der Addition und Multiplikation aus $\mathbb {R}$.

Dieses Beispiel ist als solved markiert. Ist dies falsch oder ungenau? Aktualisiere den Lösungsstatus (Details: Vorlage:Beispiel)

Lösungsvorschlag von mnemetz

Für die Addition

Abgeschlossenheit

$(w+x*{\sqrt {5}})+(y+z*{\sqrt {5}})=(w+y)+(x+z)*{\sqrt {5}}$

w + y $\in \mathbb {Q}$, x + z $\in \mathbb {Q} \qquad \Rightarrow$ abgeschlossen

Assoziativität

${\begin{aligned}a\circ (b\circ c)&=(a\circ b)\circ c\\\end{aligned}}$

• $a=(u+v*{\sqrt {5}})$
• $b=(w+x*{\sqrt {5}})$
• $c=(y+z*{\sqrt {5}})$

${\begin{aligned}(u+v*{\sqrt {5}})+((w+x*{\sqrt {5}})+(y+z*{\sqrt {5}}))&=((u+v*{\sqrt {5}}+(w+x*{\sqrt {5}}))+(y+z*{\sqrt {5}})\\(u+w+y)+(v+x+z)*{\sqrt {5}}&=(u+w+y)+(v+x+z)*{\sqrt {5}}\end{aligned}}$

Daher: assoziativ

Neutrales Element (Nullelement)

$e=0+0*{\sqrt {5}}=0$

Inverses Element

$(x+y*{\sqrt {5}})'=(-x)+(-y)*{\sqrt {5}}$

Kommutativität

trivial

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Für die Multiplikation

Abgeschlossenheit

$(w+x*{\sqrt {5}})*(y+z*{\sqrt {5}})=w*y+w*z*{\sqrt {5}}+y*x*{\sqrt {5}}+5*x*z=\underbrace {(w*y+5*x*z)} _{\in \mathbb {Q} }+\underbrace {((w*z+y*x)} _{\in \mathbb {Q} }*{\sqrt {5}})$

abgeschlossen

Assoziativität

trivial. Ist gegeben.

Neutrales Element

$e=1+0*{\sqrt {5}}$

Inverses Element

${\begin{aligned}(x+y*{\sqrt {5}})*(x'+y'*{\sqrt {5}})&=1+0*{\sqrt {5}}\\x'+y'*{\sqrt {5}}&={\frac {1+0*{\sqrt {5}}}{x+y*{\sqrt {5}}}}\\x'+y'*{\sqrt {5}}&={\frac {(1+0*{\sqrt {5}})*(x-y*{\sqrt {5}})}{x^{2}-5*y^{2}}}\\\end{aligned}}$

Untersuchung des Nenners der rechten Seite:

${\begin{aligned}x^{2}&=5*y^{2}\\x&=\pm {\sqrt {5}}*y\\\end{aligned}}$

und dies ist unmöglich, da x ein Element der rationalen Zahlen ist

Anmerkung Käßknöpfle: $x^{2}=5*y^{2}$ kann nicht stimmen da ansonnsten $x^{2}-5*y^{2}=0$ wäre und das ist bei einer Division nicht möglich. Daher ist diese Annahme falsch!

Daher wurde nur durch das bewiesen das es kein Multiplikatives Invers von 0 gibt.

Es reicht zz das $x'+y'*{\sqrt {5}}={\frac {x-y{\sqrt {5}}}{x^{2}-y^{2}*5}}={\frac {x}{x^{2}-y^{2}*5}}-{\frac {y}{x^{2}-y^{2}*5}}*{\sqrt {5}}$ hier sind jeweils beide Teile wieder in Q. => Es gibt ein Inverses Element für alle x & y, welche nicht 0 sind. (Wichtig für Begründung für Körper)

Kommutativität

trivial

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Anmerkung Jan: Wie kann eine Abelsche Gruppe vorliegen wenn es laut der Lösung gar kein inverses Element gibt? Müsste es sich hierbei nicht um ein kommutatives Monoid handeln?

Anmerkung Käßknöpfle: Wie Jan richtig sagt handelt es sich um ein kommutativen Monoid.

Schlussfolgerung

Es liegt ein Körper für $\langle M,+,*\rangle$ vor.

Anmerkung Jan: Um nachzuweisen dass es sich um einen Ring handelt muss gezeigt werden dass die Distributivgesetze für die Struktur gelten, dies ist im vorliegenden Lösungsweg aber nicht erfolgt. Um in einem zweiten Schritt nachzuweisen dass es sich um einen Körper handelt, müssen alle Elemente der Struktur eine Einheit sein, also ein multiplikativ inveses besitzen; auch dies ist im vorliegenden Lösungsweg nicht erfolgt.

Anmerkung neo: Es handelt sich um einen kommutativen Monoid bezüglich der Multiplikation. Des Weiteren ist, nach meinem Lösungsweg, die gesamte Struktur ein Integritätsring. $(M,+)$ ist eine abelsche Gruppe und $(M,*)$ ein kommutativer Monoid d.h der Ring ist daher ein kommutativer Ring mit Einselement. Da eine Multiplikation nur $0$ ergibt, wenn einer der Faktoren $0$ ist, gibt es hier eine Nullteilerfreiheit und daher ist $(M,+,*)$ ein Integritätsring.

Anmerkung Käßknöpfle: Es ist ein kommutativer Ring, da (M,+) eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0. (M,*) ist eine kommutativer Monoid. => Somit ist eis ein kommutativer Ring mit Einselent. Desweiteren ist die Definition eines Körpers gegeben. (M,+,*) hat ein Einselement mit $1\not =0$ und jedes $a\neq 0$ eine Einheit (multiplikatives Invers).

Webressourcen

• f.thread:38071&highlight=ringe+addition
• http://stud4.tuwien.ac.at/~e0425426/Mathebeispiele/linalg_021.pdf
• Ähnliche Beispiele:

  Beispiel 286
  Beispiel 287
  Beispiel 289
  Beispiel 290
  Beispiel 291
  Beispiel 292
  Beispiel 293

Anmerkung von BarFoos

Ich würde die Existenz eines neutralen Elements nicht so trivial angeben. Per Def. muss ein neutrales Element folgendes erfüllen: $a\circ e=e\circ a=a$. Das heißt:

$a+e=e+a=a$

$(a+b{\sqrt {5}})+e=(a+b{\sqrt {5}})$ mit $a,b\in \mathbb {Q}$ (per Def.)

$e=0$