TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 416
Untersuchen Sie, ob die folgende Struktur ein Ring, Integritätsbereich bzw. Körper ist:
mit der Addition und Multiplikation aus .
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für die Addition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
w + y , x + z abgeschlossen
Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Daher: assoziativ
Neutrales Element (Einheitselement)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Inverses Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Kommutativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
trivial
Okay Gitti
Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.
Für die Multiplikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
abgeschlossen
Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
trivial. Ist gegeben.
Neutrales Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Inverses Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Da x' und y' aus Q sind, muss und gelten. Somit sind x' und y' festgestellt, und jedes element aus M hat ein Inverses, ausser was genug ist, damit M Körper genannt werden kann.
Untersuchung des Nenners der rechten Seite:
Anmerkung: Siehe S.82 in Drmotas "Mathematik für Informatik" (ISBN 9783885381174), nach der Definition 2.66: "Eine algebraische Struktur (K,+,*) ist also genau dann ein Körper, wenn (K,+) und (K\{0},*),*) kommutative Gruppen sind und die Distributivgesetze gelten." --Irfy 03:24, 14. Jan. 2010 (CET)
da,
0 hat jedoch kein inverses Element in
!Die existenz eines inversen Elements von bezüglich ist KEINE Vorraussetzung für einen Körper.
Kommutativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
trivial
Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.
Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es liegt ein Körper für vor.
Webressourcen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- f.thread:30759&highlight=Ringe+Addition+Multiplikation
- http://stud4.tuwien.ac.at/~e0425426/Mathebeispiele/linalg_021.pdf
- https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/attachment.php?attachmentid=4042&d=1101136063
- Ähnliche Beispiele:
Beispiel 286 Beispiel 287 Beispiel 288 Beispiel 289 Beispiel 291 Beispiel 292 Beispiel 293