Sei
ein Ring. Man zeige, dass dann auch
mit den Operationen

ein Ring ist.
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
(Mit
ist hier das Paar gemeint, dessen erste Komponente
ist, und dessen zweite Komponente
ist. Wenn
zum Beispiel der Ring der ganzen Zahlen ist, dann wäre das Paar
so ein
.)
- Ring
Ring[Bearbeiten, Wikipedia, 2.68 Definition]
Ein Ring
ist eine Menge
mit zwei binären Operationen
und
, sodass
eine kommutative Gruppe ist,
eine Halbgruppe ist,
- die Distributivgesetze
und

- für alle
gelten.
Ist wahrscheinlich eh falsch, aber ich probiers mal..
Damit ich leichter Arbeiten kann, erschaffe ich eine neue Menge "S".
S = R x R
Unsere Problemstellung lautet nun: Ist
ein Ring? Gehen wir also alle Voraussetzungen für Ringe durch:
ist sicher eine kommutative Gruppe, da
schon eine ist und bei Operationen in R x R dieselben Regeln gelten müssen, wie in R selbst.
ist sicher eine Halbgruppe, da
schon eine ist.
- da in R die Distributivgesetze gelten, gelten sie auch in R x R.
Siehe Diskussion
Hab grad gesehen, dass das Beispel schon gelöst im Wiki steht: Beispiel 297
Ist echt nur stures nachrechnen - ich rechne es trotzdem mal vor..
Siehe Diskussion
Ich zeige gleich allgemeiner: Ist
ein Ring,
, so ist auch
einer mit den Operationen:
Additive Gruppe
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für alle
Sei nun
das Einheitselement von
. Es ist
Einheitselement von
.
, denn:
Multiplikative Halbgruppe
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für alle