TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 432

Sei $<R,+,\cdot >$ ein Ring, in dem $a^{2}=a$ für alle $a\in R$ gilt. Man zeige, dass dann auch $a+a=0$ für alle $a\in R$ gilt. (Hinweis: Man betrachte $(a+a)^{2}$)

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Lösung

Strikt dem Hinweis folgen. Zuerst wird $(a+a)^{2}$ mithilfe des Distributivgesetzes aufgelöst:

$(a+a)^{2}=(a+a)\cdot (a+a)=a\cdot (a+a)+a\cdot (a+a)=a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}$

Man braucht hier zwei Schritte mit dem Distributivgesetz, weil wir keine Gesetze haben, die uns direkt $(a+a)\cdot (a+a)$ auflösen lassen.

$\Rightarrow (a+a)^{2}=a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}$

Da jedes beliebige $a^{2}=a$ ist, können wir links und rechts die Quadrate entfernen:

$a+a=a+a+a+a$

Jetzt addieren wir zweimal das additive Inverse von a (sprich: (-a)):

$0=a+a$

Voilà!

Anmerkung:

$0=a+a$

$-a=a$

--> Das einzige Element das sich selbst als additives Inverses Element besitzt ist das neutrale Element bezüglich der Addition (0).

Kürzere Lösung

Dies ist nur eine schnellere und aus meiner Sicht einfachere Lösung aus dem Vorgehen in "Lösung".

Kurze Schreibweise:

$a^{2}=a\Rightarrow 0=a+a$

$a+a=2a=4a$

$\Leftrightarrow 0=2a\Leftrightarrow 0=a+a$

$\square$

Erklärung

Die Angabe kann man wie folgt interpretieren:

$a^{2}=a\Rightarrow 0=a+a$

Wir schreiben nun einfach um:

$a+a=2a=(2a)^{2}=4a^{2}=4a$

daraus folgt: $2a=4a$

Nun addieren $2\cdot (-a)$ auf beiden Seiten (wir ziehen $2a$ ab):

$0=2a$

Wir haben im vorherigen Schritt bereits beschrieben, dass $a+a=2a$ daraus Folgt $0=a+a$ was zu zeigen war