TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 435

Sei $<R,+,\cdot >$ ein Ring, in dem $a^2=a$ für alle $a\in R$ gilt. Man zeige, dass dann $R$ kommutativ ist. (Hinweis: Man betrachte $(a+a{)}^2$ und $(a+b{)}^2$)

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Voraussetzung

Beweis beginnt genauso wie Beispiel 432!

Ich nehme, hier als Voraussetzung, dass wir wissen, dass $a+a=0$ ist. Steht im Beweis zu Beispiel 432.

Lösung

Wir wollen zeigen, dass R bezüglich der Multiplikation kommutativ ist. D.h. für beliebige a und b aus R soll gelten: $ab=ba$

Man schaut sich also, wie im Hinweis beschrieben, noch $(a+b{)}^2$ an:

$(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot (a+b)+b\cdot (a+b)=a^2+ab+ba+b^2$

Achtung! Wir wissen hier noch nicht, dass die Multiplikation kommutativ ist, d.h. für uns sind Mal gedanklich $ab$ und $ba$ nicht unbedingt dasselbe, aber das wollen wir zeigen.

$\Rightarrow (a+b{)}^2=a^2+ab+ba+b^2$

Wir lassen wieder die Quadrate weg, da wir wissen, dass jedes beliebige $a^2=a$ ist.

$a+b=a+ab+ba+b$

Jetzt geben wir auf beiden Seiten (-a) und (-b) dazu (eliminieren also a und b aus der Gleichung). Anmerkung: Das ist trivial möglich, da die Addition in einem Ring kommutativ ist. Wenn sie nicht kommutativ wäre, ginge es trotzdem. Man müsste nur das (-a) von links dazuaddieren und das (-b) von rechts.

$0=ab+ba$

$ab=-(ba)$

Wir wissen aber noch, dass $a+a=0$ für alle $a\in R$ gilt.

$ab=-(ba)+0\Rightarrow ab=-(ba)+ba+ba$

$\Rightarrow ab=ba$