TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 448

Man untersuche das Polynom $x^{3}-x^{2}+1$ auf Irreduzibilität a) über Q; b) über $Z_{5}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösung von AndiOnline

Bei Polynomen 2. und 3. Grades kann man die Irreduzibilität durch Bestimmen der Nullstellen herausfinden.

a) x kann als Bruchzahl dargestellt werden, wobei $p/q$ teilerfremd sind. p/q: p,q sind Element der ganzen Zahlen ohne Null, ggT(p,q)=1.

${\frac {p^{3}}{q^{3}}}-{\frac {p^{2}}{q^{2}}}+1=0|\cdot q^{3}$

$p^{3}-p^{2}\cdot q+q^{3}=0$

$p^{3}=p^{2}\cdot q-q^{3}$

$q|p^{3}\Rightarrow q=\pm 1$

D.h. die Nullstellen müssen (falls vorhanden) plus oder minus 1 sein. Jetzt gebrauch ich auch mal die schöne Formulierung, die mich schon manchmal um den Verstand gebracht hat: "Wie sich durch einfaches nachrechnen feststellen lässt" ist weder -1 noch +1 eine Nullstelle, daher gibt es in Q keine Nullstellen, d.h. Polynom ist irreduzibel.

b) Für $x^{3}-x^{2}+1=0$ ergibt sich durch Ausprobieren:

$2^{3}-2^{2}+1=5=0mod5$

D.h. das Polynom ist reduzibel und zwar lautet das kleinere Polynom (x - 2).

Beweis:

(x^3 - x^2 + 1) : (x - 2) = (x^2 + x + 2)
-x^3 +2x^2
0   + x^2 + 1
    -(x^2 - 2x)
            2x + 1
          (-2x - 4)
               + 5 = 0 mod 5 => 0 Rest

Das heißt das Polynom ist in $x^{3}-x^{2}+1=(x-2)\cdot (x^{2}+x+2)$ zerlegbar.

Einsetzen von 2 ergibt: $8-4+1=5=0{\text{ mod }}5$ was zum richtigen Ergebnis führt.

Lösung wurde so in der Übungsstunde bei Hr. Prof. Urbanek durchgerechnet.

edit:

Wenn ich nun aber zur Gegenprobe $(x-2)\cdot (x^{2}+x+2)$ rechne kommt $x^{3}-x^{2}-4$ raus. Hat dazu jemand eine Ahnung?

Edit von Mure: -->Weil der Rest (in dem Fall: +5), in der Lösung, vergessen wurde.. lautet korrekt: $(x-2)\cdot (x^{2}+x+2)+5$

Edit von Willi: Modulo 5 ist -4 und +1 das selbe.